Дана равнобедренная трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Найдите наибольшее возможное значение градусной меры острого угла между диагоналями.

Есть у нас такие авторы, которые раз за разом норовят в своих ответах обойтись без картинки. Что же, наверное, действительно есть такие теоретики, которые щёлкают подобные задачки, как орешки, и в чертежах не нуждаются. Обидно другое - когда умники в итоге не дают никакого ответа, обманывая ожидания наших читателей. Поскольку я не считаю себя вундердедом, начну с построения иллюстрации. А в общем виде равнобедренная трапеция должна выглядеть следующим образом:
По условиям задания AB = CD = AD / 2. Изменяться может только сторона BC. Так давайте себе представим, что будет, если длина этой стороны примет минимальное значение? Боковые стороны трапеции практически лягут на её большее основание. И тогда углы ∠AQB и ∠CQD максимально приблизятся к 0°. Но в вопросе говорится о наибольшем значении этих острых углов. Что же, давайте увеличивать блину BC. Только мы же не сможем делать это бесконечно, иначе именно это основание станет бОльшим, а по условиям бОльшее основание равно сумме боковых сторон.
Лично мне видится только один компромиссный вариант - если прямоугольник посчитать частным случаем равнобедренной трапеции, тогда можно приступить к вычислению величины острых углов:
Нас интересует угол ∠CQD в равнобедренном треугольнике, у которого основание CD равно высоте QH. Очевидно, что высота делит его на два прямоугольных треугольника с соотношением катетов 1/2. Пусть CH = DH = 1, а QH = 2, тогда:
tg(∠CQH) = CH / QH = 1/2, но нас интересует арктангенс и умноженный на два, чтобы сразу вычислить величину угла ∠CQD:По-моему, значение 53,1301023542 и есть правильный ответ. Он имеет место, когда основания трапеции равны. При любом сокращении длины основания BC станет уменьшаться и каждый из острых углов ∠AQB и ∠CQD.