В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

введем следующие обозначения:
a - половина меньшего основание трапеции
b - половина большего основание трапеции
h - высота трапеции
по свойству равенства длин касательных, проведенных из одной точки к окружности,
получаем, что периметр трапеции равен 4*(a+b), при этом по условию задачи периметр трапеции равен 180, т.е:
4*(a+b) = 180
a + b = 45
площадь трапеции равна 1620, значит:
h*(a+b) = 1620
h = 1620/(a+b) = 1620/45 = 36
пусть О - центр вписанной окружности, тогда
∠ОFВ = ∠OFA, ∠OEC = ∠OEA,
при этом ∠ОFВ + ∠OFA + ∠OEC + ∠OEA = 180°
следовательно ∠FOE = 90°
по теореме Пифагора, получаем:
ОЕ² = b² + r²
ОF² = a² + r²
ЕF² = ОЕ² + ОF² = a² + r² + b² + r²
при этом ЕF = a + b
a² + r² + b² + r² = (a + b)²
2r² = 2ab
r² = ab = h²/4 = 18² = 324
подставляем значение b = 324/а в выражение: a + b = 45
получаем: a = 9, b = 36
треугольники ∆GXB и ∆DXC - подобные, следовательно:
ВХ = h*а/(a + b)= 36*9/45 = 7.2
Ответ:
расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции = 7.2