В выпуклом 794‐угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Стороны многоугольников отличаются от их же диагоналей тем, что первые соединяют соседние вершины, а вторые могут соединять любые вершины, кроме соседних. То есть в любом N-угольнике из каждой вершины мы можем провести столько диагоналей, сколько у него вершин за вычетом двух - по одной слева и справа. Подчеркну - из каждой! Только у нас сегодня задача особенная, потому что у каждой диагонали должно оказаться не больше одного пересечения с любой другой. Да ещё и фигура не простенькая - 794-угольник. Хотя, чтобы понять логику, я бы попробовал для начала разобраться с тем же десятиугольником, а потом перейти к более сложным вычислениям. Сами же диагонали я провел следующим образом:
Всего получилось шесть штук. И что-то подсказывало, что это далеко не самый лучший вариант. Пока ломал голову, в гости зашёл соседский пацан Серёжка. У них сегодня был «последний звонок» в школе, поэтому он был весь из себя нарядный. Новые кроссовки ослепляли своей чистотой. Симпатично смотрелась и необычная шнуровка.
И тут меня осенило! А что, если провести диагонали так же, как у него расположены шнурки? Мы с Серёгой вместе прильнули к экрану и через пару минут был получен новый метод проведения диагоналей, который добавил к предыдущим шести ещё парочку:
После мы представили себе 12-угольник и поняли, что количество диагоналей будет больше - оно увеличится на две. Таким образом их число равно числу вершин за вычетом двух. Для десяти - 8, для двенадцати - 10 и так далее. Можно даже формулу написать:
N диагоналей = N вершин - 2Пока я писал эти строки, Сергей достал из кармана коробку со спичками и виртуозно сложил на моей тетрадке в клеточку другую фигуру - одиннадцатиугольник. Сам убежал по делам, но мне сказал, что вариант с нечётным количеством вершин и углов следует обязательно проверить. Сказано - сделано:
Только, как я ни старался, а в итоге не смог провести ни одной дополнительной диагонали. При одиннадцати вершинах число диагоналей оставалось равным восьми, как и в десятиугольнике. Что получается? При чётном количестве вершин мы вычитаем две, а при нечётном все три потребуется вычесть.
N диагоналей = N вершин - 2 (для чётного числа вершин)N диагоналей = N вершин - 3 (для нечётного числа вершин)В таком случае для 794-угольника нам подходит первая версия и правильным ответом станет следующий:
N = 794 - 2 = 792 диагонали.Всё! Удачи на дорогах!