Высота правильной треугольной пирамиды равна 23, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды S. В ответе запишите S/√6.

Добавим рисунок:
Линейный угол SHA равен двугранному углу АВСS, а это значит, что ∠SHA=45°.
Рассмотрим треугольник SDH, SD в нём - высота, значит, ∠SDH=90°. Следовательно, ∠DSH=180-90-45=45°. Значит, треугольник SDH - прямоугольный и равнобедренный. Значит, DH=SD=23. По теореме Пифагора:
SD²+DH²=SH²
23²+23²=SH²
SH²=1058
SH=23√2
SH - высота треугольника CSB, высота боковой грани пирамиды, или апофема.
Далее рассмотрим основание пирамиды АВС - это равносторонний треугольник. АН в нём - высота. Высота правильной треугольной пирамиды SD делит высоту основания АН в отношении 2:1, то есть DH=2AD, AH=3DH=23*3=69
Далее смотрим прямоугольный треугольник АНС, угол САН в нём равен 30°, значит, катет СН в два раза меньше гипотенузы АС. Обозначим СН=х, тогда АС=2х. По теореме Пифагора:
х²+69²=4х²
3х²=69²
х²=1587
х=23√3
АС=2х=23√3*2 - сторона основания пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды найдём по формуле:
Sбок.=1/2 *Росн.*d, где d - апофема SH=23√2.
Sбок.=1/2 *3*23√3*2*23√2=1587√�6
В ответе запишем S/√6, или 1587
Ответ: 1587.

Раз в основании правильный треугольник, то высота приходит ровно в центр этого треугольника. А значит, расстояние от этого центра до основания треугольника тоже 23 см, потому что высота пирамиды с апофемой боковой стороны образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, сама апофема - это гипотенуза оного треугольника, то есть 23√2.
Высота основания - это 3х23, потому что центр правильного треугольника - это до кучи и центр пересечения его медиан, а медианы там - заодно и высоты. Ну а зная высоту правильного треугольника, не штука сосчитать и его сторону.
Тем самым для боковой стороны найдено и основание этой стороны (оно же сторона треугольника в основании пирамиды), и высота (апофема). Остальное арифметика...