В прямоугольном треугольнике биссектриса делит гипотенузу на отрезки 15 и 20 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота?

По свойству биссектрисы катеты относятся как 3/4 (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника).
Пусть одна часть равна х, по теореме Пифагора (3х)^2 + (4x)^2 =35^2, Находим х=7, Значит один катет равен 21см, а второй 28см.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Пусть искомый отрезок у, тогда 21^2 = 35*(35-y), решая это уравнение находим у=22,4. Один отрезок 22,4см второй 35-22,4=12,6см.
                                                                              

По свойству биссектрисы определяем, что соотношение катетов равно 15/20 или 3/4.
Высота проведённая к гипотенузе делит исходный треугольник на два меньших подобных треугольника.
Площади этих треугольников относятся друг к другу как 9:16.
Поскольку, высота, проведённая к гипотенузе для них общая, то отрезки, на которые высота делит гипотенузу относятся друг к другу как 9:16. Т.е один отрезок равен 35*(9/25)=12,6, а другой 35*(16/25)=22,4 см.