Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он ещё 2 дня (всего три дня) пьёт по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до пяти капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?

Нормальная бытовая задачка. С ней может столкнуться в жизни любой человек. Зачем покупать лишнее дорогостоящее лекарство, когда достаточно всё просчитать.
Тем более что тут нет ничего сложного. Суммируй, да дели.
И так 3 дня больной должен пить по 40 капель, это означает что он употребит 120 кап. Хочу обратить ваше внимание на единицы измерения доз лекарственного препарата.
Считаем дальше.
5+(5+5)+(5+5+5)+(5+5�+5+5)+ т.д.
5+10+15+20+25+30+35=�140
140×2=280
280+120=400
И так, 400 капель потребуется для лечения больного. Это означает что придётся затариться всего двумя флаконами чудодейственного средства. Ведь в каждом пузырьке как вы помните по условию задачи число капель ограничено.
                                                                              

Задача интересна не столько с математической, сколько с программной точки зрения. Подобные расчёты в "промышленных" масштабах, конечно, требуют автоматизации. Простейший пример такой автоматизации можно привести в excel.
=ОКРУГЛВВЕРХ(((2*B�1+B2*((B3-B1)/B2-1))*((B3-B1)/B2)/2+B3*B4+(2*B�1+B2*((B3-B1)/B2-1))*((B3-B1)/B2)/2)/B5;0)
Формула расчёта учитывает возможность изменения любых параметров и выполняет округление вверх, т.к. лекарство лучше пусть останется, чем его не хватит.
Применён расчёт суммы членов арифметической прогрессии с известными первым элементом (B1), разностью прогрессии (B2) и последним элементом, который предшествует первому дню на максимальной норме.
Количество капель на максимальной норме вычисляется отдельно (B3*B4). Расчёт периода уменьшения нормы дублирует период увеличения, можно было бы эту часть формулы просто умножить на два, но здесь для наглядности они выведены отдельными частями.
Подставив данные из условия задачи, получим результат, который сообщит, что при таком курсе лечения больному потребуется два пузырька лекарства.

Если больной начинает по 5, а заканчивает по 40, то среднее число будет:
40 + 5 = 45. Чтобы такого достичь, нужно:
((45/5) - 1)/2 = 4 пары по 45, но без первой пары, значит 8 чисел или:
45*4 = 180.  Но следует помнить, что он ещё 2 дня пьёт по 40 капель, а потом снижает вновь до 5, значит надо умножить на 2 и добавить 1 день 40:
180*2 + 40 = 360 + 40 = 400. А теперь остаётся узнать сколько всего пузырьков:
400/200 = 2 пузырька.
Проверка:
5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 40 = 220. Обратный отсчёт назад:
220 + 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 = 400. Сходится. Проверка завершилась успешно!
Мой ответ: 2 пузырька лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)
P.S. Меня сбило с панталыку число 20. Поэтому отредактировала ответ.

Можно решить чисто арифметически, не применяя формул прогрессии.
Он выпил капель за все время :
(5+10+15+20+25+30+35�+40)*2+40
=180*2+40=400 капель.
И это составит :
400:200=2 пузырька
Это быстрее, чем писать а1, ап, d, S  и выписывать формулы
Ответ:2 пузырька лекарства нужно купить больному. .

Да, задача тягучая, но можно логически решить. Итак, чтобы дойти до максимальных 40 капель больному нужно семь дней, а это семь шагов, ибо 35 деленное на 5 получается семь, за это время больной примет капель 5+5+5+ 5х3+ 5Х 4+ 5Х5+ 5Х6+ 5Х7 +140 капель, столько же она примет в обратном порядке + 40Х3=120 получается 400 капель. А 400 делим на 200 получаем 2. Итак, больному нужно купить два пузырька по 20мл или 200 капель. Ответ - 2.