С какой целью вычисляют модуль числа?
Как правильно определить модуль числа?

В математике он нужен для решения некоторых задач.
Самый простой пример:
Фирма задолжала денег за что-то.
Директор говорит бухгалтеру "Посмотри счета, сколько мы задолжали, и затем скажи кассиру эту сумму, чтобы он выдал тебе данную сумму. А затем расплатись с тем, кому мы должны.".
Бухгалтер идёт, смотрит счета. Там, например, написан долг -36000 рублей.
Число написано с отрицательным знаком так как это долг, а не прибыток.
Но бухгалтер на знак минус не смотрит. Он его просто отбрасывает, а кассиру говорит число без знака 36000 рублей.
Вот и модули пригодились.
Применение в программировании:
Например в программировании переменная X может в определённый момент принять либо положительное, либо отрицательное значение, либо вообще быть равна нулю. Чтобы программе знать, как дальше работать с данной переменной, программе иногда требуется сначала определить, с чем она имеет дело. Например если X=0, то на эту переменную нельзя делить.
Иногда программе требуется знать абсолютное значение числа, то есть без знака. Существует много случаев, для чего это может понадобиться. Например в зависимости от угла, синусы и косинусы могут принимать положительные и отрицательные значения. А программисту может, к примеру, понадобиться лишь сам размер синусов и косинусов на координатной оси, а знак не важен.
В математике модуль от числа находится просто отбрасыванием знака минус, если число отрицательное. В математике принято модуль обозначать вертикальными чёрточками, например так |-4|.
В программировании можно либо использовать специальную функцию нахождения модуля, либо определить с помощью логических операций.
Пример нахождения модуля с помощью функции: x=Abs(x)
Пример нахождения модуля с помощью логических операций: if x<0 then x=-x
                                                                              

С модулем, когда еще в школе проходил это понятие, не совсем складывалось у меня понимание, ну, стоят вертикальные такие палочки, заключающие число или выражение в себя, на выходе получается только положительное число. С таким пониманием, решать с модулем задачки вполне можно было, и ладно. Но, ведь что такое модуль, не случайно же это важное понятие. Абсолютное цифровое значение, вот что это такое. Предположим, уехали вы авто из одного пункта в иной, 20 км было всего, а потом назад себе вернулись. Сколько по расстоянию получилось? Где был автомобиль, там же и остался, значит - 0 км, а вот по спидометру то 40 км. Теперь по играм компьютерным - есть у нас лазер боевой у игрока, и ему нужно выстрелить в противника. Но, в помещении том не только он, но и стены, мебель и так далее. Программа должна определить, что перед нами, а для этого ей нужно рассчитать координаты всего, что есть и сопоставить их между собой, ближнее и вывести на экран, например, врага, а если ближе стена, то ее. Вот тут то модуль нужен.

Модуль числа показывает, насколько далеко это число отодвинуто на числовой оси в ту, или другую сторону от её центра, т.е. от числа нуль.
Если нужно знать именно это, то для сравнения длин отклонений нескольких чисел от нуля и используют этот самый модуль.
В программировании модуль используется точно так же, как и в математике, ибо программирование математикой и оперирует.