Паша задумал трёхзначное число. Сумма цифр этого числа равна 8, а сумма квадратов цифр этого числа равна 24. Если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумал Паша?

Множество квадратов однозначных десятичных чисел: {81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0} (числа выписаны в порядке убывания, так как сумму, состоящую из заданных слагаемых, проще подбирать, начиная с больших слагаемых). Легко убедиться, что сумма трёх чисел, принадлежащих этому множеству (не обязательно разных), будет равна 24, только если эти числа равны 16, 4 и 4, то есть является квадратами однозначных чисел (цифр, образующих задуманное число) 4, 2 и 2, соответственно. Таким образом, условие задачи о том, что сумма цифр этого числа равна 8, само собой выполняется, и, поэтому, является излишним.
Найденными цифрами можно записать числа 422, 242 и 224, из них только 422 удовлетворяет условию «если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке»: 422-224=198.
Ответ: 422.
                                                                              

Эту задачу можно решить методом подбора. Сумма квадратов трёх чисел равна 24, а это значит что у нас могут быть числа 0, 1, 2,3 и 4. 5 и больше не могут быть, так как 5×5 =25, а это больше 24. Суммы квадратов, равные 24, нам дадут комбинации 2,2,4 и 3,0,5. Но по условию сумма трех цифр должна быть 8. Значит это число состоит из цифр 2, 2, 4.
Теперь обратимся к условию, что разность задуманного числа и его "зеркального перевёртыша" равна 198. Так вот если бы задуманное число начиналось на 2, то 2**-198 никак не даст нам трёхзначное число. Получается исходное число начинается на 4 и это 422. Проверка: 422-198=224.
Все условия соблюдены.
Ответ: Паша задумал число 422.

Я бы подошла к решению данной задачи следующим образом:
По условию сумма квадратов цифр задуманного трехзначного числа равна 24. Соответственно, число не должно быть больше 4, т.к. 5*5=25>16. Т.е. задуманное число может состоять из чисел 0, 1, 2, 3, 4. Т.к. сумма цифр числа должна составлять 8, то методом подбора можно определить, что это комбинация цифр 2, 2, 4.
Варианты чисел 422, 224, 242.
Самое время проверить последнее условие - если из задуманного числа вычесть 198, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке.
Очевидно, что ни 224, ни 242 не подходят.
А вот если из 422 вычесть 198, то получим 224.
Значит было задумано число 422.

Пусть наше число АВС.
Имеем:
100А+10В+С-198=100С+10В+А
То есть:.
99А-99С=198
А-С=2
Все равенства:
А=С+2
А+В+С=8
А^2+В^2+С^2=24 или :
2С+В=6.
С^2+4С+4+В^2+С^2=24
2С^2+4С+В^2=20.
Варианты :
1)В=0,С=3,А=5
503-198=305
3^2+0^2+5^2#24--вариант не проходит
2)В=2,С=2,А=4
422-198=224
4^2+2^2+2^2=24-проходит
3)В=4,С=1,А=3
341-198=143.
16+1+9#24--не проходит
4)В=6,С=0--не имеет смысла
Ответ:Паша задумал число 422

Если сумма квадратов цифр этого числа равна 24, то наибольшая из цифр меньше чем 5 (5?=25)
Возможные вырианты наибольшей цифры:
01234Проверяем каждую цифру, начиная с самой большой:
4²=16
сумма квадратов оставшихся двух цифр равна
24-16=8
Разбиваем 8 на сумму квадратов двух однозначных чисел:
8=2×2×2=2*4=2*2²
Разбить число 8 на сумму двух квадратов целых чисел другим способом не получится.
Следовательно, каждая из двух оставшихся цифр равна 2
Получили число 422
Проверяем последнее условие:
422-198=224
Ответ:Паша задумал число 422.