Такую задачку иногда задают школьникам на уроках математики. Иногда те удивляются, переспрашивают: может быть, 3 перейдёт в 15? Однако опечатки или ошибки в моём заголовке нет никакой. Число три переходит именно в пятьдесят пять, а не в пятнадцать.
Вопрос: во что перейдёт 10? Желательно обосновать, объяснить свой ответ.

Вариант формулы для вычисления искомого значения.
                                                                              

Я предположу, что 5 это не цифра и не число, а символ подменяющий единицу, но следующий идёт символ, как в двоичном коде, тогда "5" стаёт цифрой и образует числа. Я напишу без нулей спереди. Двоичный порядок, а рядом с пятёрками. Обозначу их порядковыми номерами из десятичной системы, но при условии следующего по закону двоичного счисления.
1) 1; 5. Одна однёрка переходит в одну пятёрку.
2) 10; 50. Две однёрки переходит в десятку.
3) 11; 55. Три однёрки переходит в одиннадцать. Одиннадцать в двоичной системе - это 3 в десятичной. А дальше по аналогии алгоритма.
4) 100; 500.
5) 101; 505.
6) 110; 550.
7) 111; 555.
1000; 5000.
9) 1001; 5005.
10) 1010; 5050
Мой ответ: 10 переходит в 5050, потому что "1010" в двоичной системе - это "10" в десятичной системе, а символ "5" подменяет символ "1".

5 10 55 100  555 1000 5555 10000
1  2  3  4   5    6   7      8
55555 100000
9     10

Эту задачу действительно иногда предлагают решить школьникам. Если речь идёт о семиклассниках, то, как мы помним, в 7-м классе ученики изучают только степенны́е функции. Их ещё называют многочленами. Далее, нужно постараться припомнить, что уравнения выше квадратных в стандартной школе решать не умеют. Кубическое уравнение не относят к простейшим, а уравнения 4-й степени или выше — и подавно. Следовательно, надо предположить, что по условию нам был дан квадратных трёхчлен. Собственно, нам были даны три точки параболы с их координатами. Попробуем, исходя из этого условия, отыскать коэффициенты a, b, c.
f(1) = a * 1^2 + b * 1 + c = 5
f(2) = a * 2^2 + b * 2 + c = 10
f(3) = a * 3^2 + b * 3 + c = 55
После упрощений получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
a + b + c = 5
4a + 2b + c = 10
9a + 3b + c = 55
Можно решать разными способами. Я всегда любил способ Крамера. Но здесь я привожу не его, а способ, какой, скорее всего, применит семиклассник. Итак.
1) Вычтем из второго уравнения первое:
4a + 2b + c – a – b – c = 10 – 5
3a + b = 5 
2) Вычтем из третьего уравнения второе:
9a + 3b + c – 4a – 2b – c = 55 – 10
5a + b = 45
3) А теперь возьмём два новых уравнения: из того, которое получили в пункте № 2, вычтем то, которое образовалось в пункте № 1.
5a + b = 45
3a + b = 5
5a – 3a + b – b = 45 – 5
2a = 40
a = 20 — мы нашли главный коэффициент.
4) Теперь уже не составляет труда найти второй коэффициент. Например, из уравнения 3a + b = 5 (смотри пункт 1).
3a + b = 5
3*20 + b = 5
60 + b = 5
b = 5 – 60
b = –55 — отыскали второй коэффициент.
5) Отыскать свободный член теперь пара пустяков! Можно взять первое исходное уравнение.
a + b + c = 5
20 + (–55) + c = 5
c = 5 – 20 + 55
c = 40 — найден свободный член.
Итак, все три коэффициента найдены, система уравнений решена: a = 20, b = –55, c = 40.
Имеем функцию: f(x) = 20x^2 – 55x + 40.
Теперь нас просят отыскать значение функции при аргументе, равном 10. Подставляем 10 вместо икса:
f(10) = 20 * 10^2 – 55 * 10 + 40 = 20 * 100 – 550 + 40 = 2000 – 550 + 40 = 1490.
Ответ: если 1 переходит в 5, 2 — в 10, а 3 — в 55, то 10 перейдёт в 1490, а функциональная зависимость выражается формулой: f(x) = 20x^2 – 55x + 40.
Но... естественно, никто не запрещал нам выйти из сферы степенны́х функций. Если вспомнить, что функции бывают показательными, то тогда можно додуматься до формулы, которую предложил Vasil Stryzhak. Это формула: f(x) = (x – 1) * 5^(x – 1) + 5. И тогда 10 перейдёт в 17578130. Поскольку в условии задачи не было ограничения на тип функции, то Vasil Stryzhak достоин ЛО, так как он дал один из возможных верных ответов.

Более сложный вариант:
А=5(п^2-(п-1)^2)*(п+1)-5п^2
Если п=1,то:
5=5(1*1-0*0)*(1+1)-5*1*1=
=5*2-5=5.
Если п=2,то :
10=5(2*2-1*1)*(2+1)-5*2*2=
=5*3*3-5*2*2=
=30-20=10.
Если п=3,то:
55=5(3*3-2*2)*(3+1)-5*3*3=
=5*5*4-5*3*3=
100-45=55
Ну,тогда если п=10,то получится :
5(10*10-9*9)(10+1)-5*10*10=
=5*19*11-500=545
Ну вот как-то так. Вроде не ошибся.