Две окружности касаются внутренним образом.  Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

обозначим радиус 3-й окружности как R
вспомним,что если две окружности касаются, то прямая, соединяющая центры данных окружностей проходит также через точку касания (неважно, внешним или внутренним способом касаются данные окружности)
отсюда следует:
1) отрезок AD равен радиусу 1-й окружности, т.е AD = 4
2) отрезок ВC равен сумме радиусов 2-й и 3-й окружностей, т.е ВC = R + 1
опустим из центра 3-й окружности перпендикуляр СЕ на прямую, соединяющую точки А и В (центры 1-й и 2-й окружностей), очевидно, что СЕ = R
получаем:
АЕ² = АС² - CЕ² = (4 - R)² - R² = 16 - 8R
BЕ² = BС² - CЕ² = (1 + R)² - R² = 1 + 2R
при этом АЕ + ВЕ = 4 - 1 = 3
√(16 - 8R) + √(1 + 2R) = 3
возведем обе части данного уравнения в квадрат:
(16 - 8R) + (1 + 2R) + 2√(16 - 8R)*√(1 + 2R) = 9
2√(16 - 8R)*√(1 + 2R) = 6R - 8
√(16 - 8R)*√(1 + 2R) = 3R - 4
возведем опять обе части данного уравнения в квадрат:
(16 - 8R)*(1 + 2R) = 9R² - 24R + 16
16 + 32R - 8R - 16R² = 9R² - 24R + 16
25R² - 48R = 0  сокращаем R, т.к решение R=0 не имеет смысла
R = 48 / 25 = 1.92
                                                                              

В школе у меня с геометрией было неплохо, правда времени прошло много. Итак, задачу по геометрии надо обязательно представить графически. Это сильно упрощает понимание.
Если я правильно поняла условие, то картинка должна получиться примерно такой. Конечно, я не пользовалась линейкой и циркулем, но вроде всё наглядно.
Помним, что если окружности касаются, то в месте касания они имеют одну общую точку. На рисунке у меня это невидно, но я это имею ввиду.
А. Радиус большой окружности (центр В) обозначим R, вторая окружность с центром А пусть будет иметь радиус r, и третья окружность с центром в С имеет радиус x. Треугольник АВС имеет вершны в центрах наших трёх окружностей. Тогда мы видим, что длина стороны треугольника АВ= R- r. Сторона АС= r+x, сторона ВС= R-x.
Периметр треугольника = сумме длин его сторон= AB+ВС+АС= (R-r)+ (r+x)+(R-x). Расскрываем скобки, получаем R-r+r+x+R-x= 2R. 2R = диаметр бОльшей окружности.
В. Зная радиусы первых двух окружностей R=4, r=1, вычислим радиус третьей. Для решения этого пункта, мой рисунок не подходит. Потому как третья окружность с такими данными должна иметь больший радиус, чем вторая.  Искомый x должен быть больше r, x  больше 1.
Мы знаем, что периметр треугольника АВС=2R=8. Одна из сторон равна 3. Часть другой =1. Тогда на 2х приходится 8-3-1=4. Получаем x=2. Радиус третьей окружности равен 2.