В окружности с центром О проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Ну так проведите еще радиусы и центра О к концам ваших хорд. Получатся два треугольника, равенство которых навиду, ибо все три стороны этих треугольников попарно равны между собой.
Раньше был и такой метод доказательства, когда треугольники поворачивали через общий угол и смотрели что получается...
А раз равны треугольники, то равны и их высоты, иначе бы площади треугольников были разными, но мы только что сказали, что треугольники равны между собой, а стало быть имеют и равные площади.