В треугольнике ABC проведена высота AD. Пусть M – произвольная точка на отрезке AD. Найдите значение выражения (АВ²-АС²)/(ВМ²-СМ²).

Начертим треугольник АВС, проведем высоту АД и выберем на ней произвольную точку Д.
Обозначим угол АСД через в, а угол МСД - через а. Теперь напишем теорему косинусов для стороны АВ в треугольнике АВС. АВ2 = АС2 + ВС2 - 2*АС*ВС*cosв. И найдем АВ2-АС2 = ВС2 - 2*АС*ВС*cosв То же самое сделаем для стороны ВМ в треугольнике МВС. ВМ2 = МС2 + ВС2 - 2*МС*ВС*cosa, ВМ2-СМ2 =ВС2 - 2*МС*ВС*cosa. Теперь найдем требуемое отношение: (АВ2-АС2)/(ВМ2-МС2) = (ВС2 - 2*АС*ВС*cosв)/(ВС2 - 2*МС*ВС*cosa).
Сокращаем на ВС и с учетом того, что АС*cosв = АД и МС*cosa = АД получим (АВ2-АС2)/(ВМ2-МС2) = (ВС-АД)/(ВС-АД) = 1. Ответ: 1.