Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Задача просто на арифметическую прогрессию:
Первый элемент: a₁ = 13,
Разность прогрессии: d = 10
Надо найти Сумму первых 5 элементов: х=5
Формула Суммы  первых х элементов равна:  Sₓ = x•(a₁ + aₓ)/2, при этом aₓ = a₁ + d•(x-1)
Откуда сумма равна Sₓ = x•(2a₁ + d•(x-1))/2
То есть S₅ = 5•(2•13 + 10•(5-1))/2 = 5•(26 + 40)/2 = 5•33 = 165 метров.
Если плохо с формулами арифметической прогрессии, то первые 5 элементов можно сложить и так:
a₁ = 13м
a₂ = 13 + 10 = 23м
а₃ = 23 + 10 = 33м
а₄ = 33 + 10 = 43м
а₅ = 43 + 10 = 53м
S = a₁ + a₂ + а₃ + а₄ + а₅ = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 165 м
Ответ: за первые 5 секунд камень пролетит 165 м. 
                                                                              

Нахождение начальной скорости броска камня:
v*t + (a*t²)/2 = 13м,
при a=10м/с², t=1с,
v + 10м/с² / 2 = 13м,
v = 8м/с,
Нахождение длины пути полёта камня:
s = v*t + (a*t²)/2,
при v=8м/с, a=10м/с², t=5с,
s = 8м/с * 5с + (10м/с² * 25с)/2,
s = 40м + 125м,
s = 165м,
Проверка:
13м + 23м + 33м + 43м + 53м = 165м
Ответ: 165м