Петя записывает 9-значные числа. На первое место он пишет любую цифру от 1 до 9, на второе место - от 1 до 8, на третье - от 1 до 7, ..., на девятое - цифру 1. Сколько чисел, делящихся на 7, может получить Петя?

Разберу варианты учитывая признак делимости на 7:
Напишу все варианты:
111111111 - это минимум, теперь последняя цифра не меняется предпоследняя два раза всё время и т.д. до 1-й цифры которая меняется 9 раз. Итого Арифметическая прогрессия от 1 до 9 = 45 вариантов.
111111111
111111121
111111211
111111221
111111311
111111321
111112111
111112121
111112211
111112221
111112321
Стоп! Я ошиблась Здесь не арифметическая прогрессия, а геометрическая 9!/45 = 8 064 вариантов. Мой метод не подходит. Нужен другой подход.
Какие числа от 111111111 до 987654321 делятся на 7 без остатка?
Сначала разделю первое и сколько не достаёт выберу первым, а потом узнаю все оставшиеся числа:
111111111/7 = 15873015 с остатком. Теперь умножу на 7, но уже 15873016 на единицу больше:
15873016*7 = 111111112, но в конце не единица. Чтобы была "1", нужно прибавить кратное 7-ми к 2-ке оканчивающееся на 9-ку это 49. Прибавляю:
111111112 + 49 = 111111161; Последние цифры 61 стали неподходящими. Должно быть или 11 или 21.
Прибавлю к 16-ти 15 или 16, про 0 не думаю. 31 или 32. Не подходит.
Прибавлю к 116-ти 15 или 16, про 0 не думаю. 131 или 132. Не подходит. 
Прибавлю к 116-ти 25 или 26, про 0 не думаю. 141 или 142.   
111111161 +  = . Вот это первое число, удовлетворяющее условию.
Я ещё тупее Пети, буду думать дальше, позже или кто-то даст ответ раньше меня.
Не комментировать! Ответ будет редактироваться!
                                                                              

(Озвучу наивный и возможно неправильный подход.)
Эта коварная задача интересна тем, что провоцирует решающего вспоминать и пытаться применить признаки делимости, но дело вовсе не в них.
Понятно, что можно выбрать значение старшего (самого левого) разряда девятью способами, следующего за ним разряда -- восьмью, etc. Всего комбинаций, т.о., возможно n=9*8*...*2*1=9! (факториал девяти).
Возьмём любое достаточно маленькое число m, делящееся на 7 и удовлетворяющее указанным в условии задачи ограничениям. Если бы необычных ограничений на диапазоны возможных значений цифр не было бы, то, очевидно, мы могли бы просто продолжать прибавлять единицу за единицей к m и получать числа дающие при делении на 7 возрастающие остатки 1, 2, 3, ..., 6; на седьмом шаге снова получим остаток 0 и сможем начать сначала. Т.е., при отсутствии ограничений, выполнялось бы тривиальное утверждение: для любого [достаточно малого] m кратного 7 и любого r, существует число m'=m+r дающее при делении на 7 остаток r. (N.B., это утверждение выполняется тривиально по определению остатка.)
Но я заметил, что это же остаётся верным и после наложения ограничений!
Лемма 1.
Для любого достаточно малого m, кратного 7 и удовлетворяющего ограничениям (старшая цифра -- не ноль и не больше 9, вторая -- не ноль и не больше 8, и т.д.), а также для любого r, можно выбрать уникальное число m', удовлетворяющее ограничениям и дающее остаток r при делении на 7.
(Доказательство пока оставлю в качестве упражнения. Добро пожаловать в комментарии, и имейте ввиду, что признаки делимости на этот раз вам вполне могут пригодиться. К сожалению, формулировка леммы не очень аккуратна и тоже требует уточнения.)
Решение основной задачи.
В соответствии с леммой 1, для любого m, дающего остаток 0 при делении на 7 существуют числа дающие любые другие остатки (от 1 до 6), причём лемма 1 гарантирует, что эти числа не придётся использовать повторно для других m. А если число n ещё и само делится на 7, то всё рассматриваемое множество возможных чисел разбивается на равномощные (одинаковые по количеству элементов в них) классы C_0, C_1, ..., такие, что числа из класса C_r при делении на 7 дают в остатке r. Другими словами, для любого r, существует ровно n/7 чисел дающих r в остатке.
Но ведь n=9! и по определению факториала, n делится на 7. Т.е. это как-раз даёт случай, описанный выше --- всё множество девятизначных чисел, удовлетворяющих ограничениям, разбивается на равные [по мощности] классы, ровно по n/7 элементов в каждом. В т.ч., среди этих классов есть и [искомый] класс С_0, состоящих из чисел делящихся на 7 без остатка; его мощность --- ещё раз повторю --- есть n/7 = 9!/7 = 362880/7 = 51840.
Итак, ответ: протагонист задачи сможет выписать ровно 51840 чисел с такими ограничениями на цифры. (Прошу считать мой ответ неполным, т.к. я пропустил здесь доказательство леммы 1.)

9!/7 = 51840
Ибо 1000000 имеет остаток 1 при делении на 7)