Дана правильная 4-угольная пирамида ABCDP, где ABCD - квадрат.
В середине ребра CP отмечена точка M. Проведено сечение через эту точку М и ребро AB.
Очевидно, что оно пересекает ребро DP тоже в середине - в точке N.
Внимание, вопрос: В каком отношении это сечение делит пирамиду?
Для меня самый трудный вопрос - как посчитать объем нижней части?
Это ведь не пирамида, не призма и не параллелепипед, вообще непонятно, какое тело.
Или объем верхней части - это косая пирамида с трапецией в основании, но как найти ее высоту?

               Так как объём любой пирамиды выражается через произведение площади её основания на треть высоты, то при равных высотах двух пирамид отношение объёмов будет равняться отношению площадей.
Мысленно рассечём пирамиду ABCDP плоскостью PDB. Она разделит её на две равные части, из которых можно вычленить ещё несколько пирамид. Объёмы пирамиды BPNA и пирамиды BNDA равны, потому что высота у них общая, и площади оснований равны, так как отрезок BN делит треугольник BPD пополам. Отсюда:
Spnb/Spdb = Vbpna/Vpdba = 1/2.
Так как отношение Vbpna к Vpdba это отношение к половине объёма пирамиды ABCDP, то в отношении ко всему объёму получается:
Vbpna/Vabcdp = 1/4.
Теперь рассмотрим пирамиды PNMB и NMCDB. Высота у них одинаковая, разные только площади оснований. Средняя линия NM треугольника PCD отсекает треугольник PNM, подобный и гомететичный PCD с коэффициентом 1/2, а его площадь равна одной четвёртой площади PCD. Отсюда:
Spnm/Spdc = Vpnmb/Vpdcb = 1/4.
Так как отношение Vpnmb к Vpdcb это отношение к половине объёма пирамиды ABCDP, то в отношении ко всему объёму получается:
Vpnmb/Vabcdp = 1/8.
Сложим отношения двух частей вместе, чтобы получить отношение объёма верхней части ABMNP к объёму пирамиды ABCDP: 
Vabmnp/Vabcdp = 1/4 + 1/8 = 3/8;
Vabmnp = (3/8)Vabcdp;
Vabcdnm = Vabcdp - Vabmnp = Vabcdp - (3/8)Vabcdp = (5/8)Vabcdp;
Vabcdnm/Vabcdp = 5/8.
Следовательно:
Vabmnp/Vabcdnm = (3/8)/(5/8) = 3/5.

               Конечно основная идея посчитать (выразить) объем верхней части - это же тоже пирамида и потом вычесть его из общего объема всей пирамиды, так узнаем нижнюю часть. И потом считать отношение.
Придется сделать кучу дополнительных построений, чтоб выразить всё через высоту пирамиды и сторону основания. Скажу сразу досконально всё доказывать не буду. Многие вещи и так понятны.
Пусть сторона основания равна "a". Высота пирамиды PO = h
1)Объем пирамиды равен V = (1/3)a²h
2) Объем верхней пирамиды ABMNP:  V(в) = (1/3)•S(т)•h(в)
В основании верхней пирамиды лежит трапеция ABMN, причем основание AB = a; основание MN = a/2. Для нахождения площади трапеции S(т) нужна высота трапеции EF (проведем её через середины оснований)
3) Итак S(т) = EF•(а + а/2) / 2 = 3•a•EF/4
4) Рассмотрим прямоугольный ∆EFS, EF - гипотенуза, FS - катет и он равен h/2 (половине высоты всей пирамиды, так как опущен от средней линии MN
Обозначим ∠SEF = α, тогда EF•sinα = h/2 (1) это нам понадобится
5) Теперь продлим EF дальше и проведем и продлим прямую PQ || OT, в результате получим пересечение прямых EF и PQ, точку G
6) Перпендикуляр PH из точки P на прямую EG и будет высотой верхней пирамиды (оставим это доказательство читателю)
7) Рассмотрим прямоугольный ∆PHG: ∠PGH = ∠SEF = α (накрест лежащие при параллельных и секущей). Тогда PH = PG • sinα
PG = a (из равенства ∆ETF = ∆PGF, легко доказывается)
9) Получаем высота верхней пирамиды h(в) = a•sinα
И объем верхней пирамиды V(в) = (1/3) • (3/4) • a • EF • a • sinα (подставим EF•sinα = h/2 и преобразуем) получаем
V(в) = (1/8) a²h
10) Тогда объем нижней части V(н) = V - V(в) = (1/3)a²h - (1/8) a²h = (5/24)a²h
Считаем отношение верхней части к нижней: V(в) : V(н) = (1/8) : (5/24) = (1/8) • (24/5) = 3/5
Ответ: объем верхней части относится к объему нижней части как 3 к 5

               Для решения данной задачи, давайте разберемся с геометрическими фигурами и объемами.
По поводу объема фигуры, образованной сечением через точку M и ребро AB. Для вычисления объема нижней части пирамиды, образованной этим сечением, можно воспользоваться формулой для объема трапеции:
V = (1/3)Sh
где V - объем, S - площадь основания, h - высота.
Площадь основания S можно найти, вычислив площадь трапеции, образованной сечением. Высоту h можно найти, используя геометрические свойства пирамиды и трапеции.
Чтобы найти объем верхней части (косой пирамиды), нам нужно также найти площадь основания и высоту. Площадь основания можно найти также через площадь трапеции, а высоту можно найти, используя геометрические свойства фигуры.
Общий объем пирамиды можно выразить как сумму объемов верхней и нижней частей.