Петя и Вася показывают такой фокус. Зритель задумывает любые шесть разных целых чисел от 1 до 125 и сообщает их только Пете. После этого Петя называет Васе какие-то пять из них, и Вася угадывает шестое задуманное зрителем число. Предложите способ, как могли бы действовать Петя и Вася, чтобы фокус всегда удавался.
б) Сумеют ли фокусники добиться успеха, если зритель сам указывает Пете, какие пять из шести задуманных им чисел Петя должен назвать Васе?

Все числа условно делятся на пять групп по 25 чисел в каждой группе.
Таким образом, в шести выбранных зрителями числах, обязательно, как минимум, два числа окажутся из одной группы, ибо групп только пять.
Первым Вася показывается одно из этих чисел, таким образом Петя уже знает, к какой группе будет относиться то последнее число, которое ему нужно будет угадать.
Одно число из этой группы уже показано, значит, их остаётся только 24.
Условно любую группу из 25 чисел можно переименовать для простоты, как числа от 1 до 25 (самая первая группа уже такая и есть).
У Васи осталось пять чисел, которые он может показать в какой-то определённой последовательности, кодирующей нужное оставшееся число.
Комбинаций всего 2**5=32, более чем достаточно, чтобы закодировать нужное число.
Таким образом, Пете будет передана информация об оставшемся ему не показанном шестом числе.
Если же зритель сам будет показывать числа, то угадать шестое число Пете невозможно, разве, что зритель случайно, покажет нужную комбинацию, о которой заранее договорились фокусники.
                                                                              

Не 100%-ный способ. Надо опробовать, тогда можно будет говорить о процентах реализации.
Итак, суть. Сводим поиск числа к методу деления пополам. Каждое названное число должно уменьшать диапазон поиска вдвое. Предел в 125, конечно, выбран не случайно. Но моя методика работает для 128. Поэтому групп будет четыре: 1-32, 33-64, 65-96, 96-125. Первое названное число должно указать на группу. Например, выбираем число из диапазона 1-64 или 65-125. Оно сразу поделит диапазон поиска пополам. Четность числа покажет, что надо перейти к старшему диапазону, нечетность - к младшему. Например, 99 покажет, что надо перейти к диапазону 65-96. 12 покажет, что надо перейти к диапазогу 33-64. Возможен редкий случай, когда зритель назовет все шесть чисел из диапазона 1-32, ну или аналогично выберет неинформативные числа. В этом случае полезно использовать однозначные или трехзначные числа для указания на исключительный случай. Например, 6 укажет на диапазон 33-64. Можно договориться о других сигналах в числах.
Нам уже известан диапазон в 32 числа. Каждое следующее число укажет, какой из половинных диапазонов выбрать. Если второе число больше первого, выбираем старший диапазон. Если меньше - младший. Например, первое число было 51. Переходим к диапазону 1-32. Второе число раделит диапазон на два: 1-16 и 17-32. Допустим, второе число 33. Переходим к диапазону 1-16.
Предположим, третье число 80. Переходим к диапазону 9-16. Четвертое - 72. Переходим к 9-12. Пятое - 64. Переходим к 9-10. Последнее число четностью должно показывать, какое число выбрать. В случае с 64 - загадонное число 10. Любое нечетное меньше 72 указало бы на 9.
Кажется, что алгоритм слишком сложный. Но с тренировками задача упрощается. Особенно эффектно будет выглядеть, если удастся вывести на число из диапазона 96-125. Если Вася после четвертого числа скажет "Кажется я уже знаю загадонное число и запишу его на листке" а после пятого числа покажет листок с правильным ответом - фурор обеспечен.
Ну и, конечно, этот метод не работает, если числа называет зритель.

Мы можем разделить все числа на 5 групп, в каждой из которых будет по 25 чисел.
Следовательно, как минимум два числа из шести, задуманных зрителями, окажутся в одной группе.
Петя должен первым показать именно то число, которое находится в одной группе с другим или другими загаданными числами. Это даст Васе понять, что последнее шестое число находится именно в этой группе. Его-то и нужно найти среди 24-х оставшихся чисел.
Поскольку первое названное число служит подсказкой для Васи, касательно группы, то оставшиеся 4-е можно использовать для того, чтобы закодировать 6-е задуманное число.
Поскольку числа не повторяются, то возможны как раз 24 варианта их комбинаций. (4!=24)
Если же зритель будут самостоятельно указывать Васе, какие числа нужно показывать, то фокус не получится. 

Зритель задумывает разные целые числа. Следовательно, Петр может сортировать их  по возрастанию. Наименьшее задуманное число обозначает буквой (а), следующие за ним числа  – (б), (в), (г) и самое большое число – (д). Из пяти букв составляются 120 комбинаций, каждой присваивается число, например: абвгд=1,абвдг=2, абдвг=3 и т.д. по 120 число. Ассистент знает шестое задуманное число. Поэтому называет в том порядке пять чисел, под которым закодировал комбинацией шестое задуманное число. Тогда Василий безошибочно называет его.
Остаются еще пять чисел, которым не хватило комбинаций – 121,122,123,124 и 125. Да и пускай себе остаются. Если задуманным будет одно из них или пусть даже все, то шестым числом Петр оставит входящее в 120 чисел имеющих комбинацию.     

Тут явно задача не на математику, а на хитрость.
Вариантов выбора чисел очень много, поэтому чтобы второй человек угадал число, ему нужно в процессе говорения пяти чисел, в манере поведения и речи как-то зашифровать последнее число.
Например если шестое число 1, то Петя стоит прямо, изображая единицу.
Если же 125, то смотрит на потолок, как бы показывая что загадано самое большое число.
Вообщем перед показыванием фокуса Пете и Васе необходимо собраться наедине, и договориться какой жест будет соответствовать какому числу.
Легче даже от 0 до 127. Это по двоичной системе 7 бит.
Вот Петя и должен как-то эти 7 бит изобразить.
Например стоит прямо - значит первый разряд числа - ноль. Стоит криво значит единица.
Прищурился - значит второй разряд ноль, а если смотрит ясно, то единица.
Сунул руки в карманы - третий разряд единица, а не сунул - ноль.
Смотрит на Васю обернувшись - четвёртый разряд единица, а если прямо - ноль.
Руки опущены вниз - пятый разряд ноль, а если приподняты - единица.
Ноги прямые - шестой разряд ноль, а если полусогнутые - единица.
Покашлял - седьмой разряд единица, а если нет, то ноль.
Так, мимикой, можно и закодировать число в диапазоне от 0 до 127.
Только перед этим нужно тщательно натренироваться, чтобы легко высчитывать число по жестам.
Может и лучше предлагать угадать из 125, а не из от 0 до 127.
Потому что так не догадаются о двоичной системе счисления в фокусе.