Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – восемь очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Мало того, что очки удваиваются так ещё, и Ваня превратился в Митю. Но это не беда.
Пишу уравнение геометрической прогрессии:
2^x = 10000.
х = 13,287712379. Но дробные степени в играх не бывают, значит беру ближайшее число 14.
Проверка:
2^14 = 16 384. 16 384 > 10 000.
Проверка завершилась успешно! К тому же все компьютерщики - программеры помнят все степени до 16-й. Например, 2^10 = 1024, 11 - 2048, 12 - 4096, 13 - 8192, 14 - 16384, 15 - 32768 и 16 - 65536: это как раз всё адресное пространство 16-ти битного компьютера ZX Спектрума.
Мой ответ: Ваня стал Митей на ..., потому что набрал 16 384 очков, что больше 10 000. Капучино прав. мне стыдно, потому что геометрическую прогрессию я люблю больше. Любовь меня ослепила: Не удваивать надо, а прибавлять. Здесь не геометрическая прогрессия, а арифметическая.
Проверка:
2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12+2^13 = 2^14 = 16382. И ответ будет на 1 меньше:
Мой ответ: Ваня стал Митей на 13 минуте, потому что набрал 16 384 очков, что больше 10 000.
                                                                              

Можно решать эту задачу в лоб, то есть подсчитывать очки и минуты напрямую, выписывая их в ряд. Можно также решать ее как геометрическую  прогрессию (так как через каждую минуту игры очки Вани удваиваются, то мы тут имеем дело с геометрической прогрессией с знаменателем равным 2) Нам также известны первый член этой прогрессии - 2, и число которое должно быть меньше или равно сумме геометрической прогрессии - 10000. Далее находим формулу для первых эн членов геометрической прогрессии и находим сумму. Но есть более простой способ. Я вижу тут степени двойки а их значения хорошо знакомы многим. Например 2 в 10-й степени 1024, а 2 в 3-й степени 8. 8*1024=8192 (это уже 2 в 13-й степени). Как видим чуть не хватает до 10000. Очевидно при удваивании 8192 мы получим число большее 10000. Значит через 14 минут Вания перейдет на следующий уровень. Ответ:14.

Ой, математики блин. Правильный ответ: 13. Условие задачи правильно понимать надо. Очки приплюсовывают. После 1 минуты 2 очка, после второй еще плюс 4- стало 6 и так далее. Считается элементарно в уме.