Свободная интерпретация задачи: Сколько одинаковых кубиков можно склеить гранями вместе, если допустимо изначально окунуть в клей только один из них.
Строго: Какое максимальное количество единичных кубов можно расположить в пространстве без перекрытий так, чтобы один из них касался гранями всех остальных?
Заметка: касания ребром/вершиной мало, необходимо чтоб была не нулевая площадь соприкосновения.
Заметка: в ответе считать все кубы включая тот к которому клеятся остальные.

Этот вопрос рассматривался в одной книге Мартина Гарднера.
Я не могу воспроизвести правильный ответ, как эти кубы расположены, но помню, что их всего 25=1 центральный + 24 вокруг.
Там весь фокус в том, что рекордсмен сумел прислонить 8 кубиков к одной грани. И еще 8 к противоположной. Это уже 16.
И остаются 4 свободных грани, к которым он умудрился прислонить еще 8 кубиков.
                                                                              

Верхнюю грань центрального кубика намазываем клеем и кладём на этот кубик второй кубик, полностью совместив их рёбра. Теперь, пока клей ещё не высох, поворачиваем приклеиваемый кубик на 45°. Теперь на верхней грани центрального кубика осталось 4 треугольника. На два противоположных треугольника можно наклеить по два кубика, а на два других только по одному. Таким образом, на верхнюю грань удастся приклеить 7 кубиков (естественно, полагая, что для того чтобы кубик держался приклеенным, достаточно как угодно малого перекрытия граней).
Аналогично, 7 кубиков можно приклеить и к нижней грани центрального кубика.
На левую и правую грани центрального кубика можно приклеить по два кубика, и на переднюю и заднюю грани - по одному кубику. Таким образом, удастся приклеить 20 кубиков, а вместе с центральным будет 21 кубик.

Мое решение было такое: В крайних слоях у меня по 8 кубиков, в центральном между ними только 6.
мысль оставить на плотных гранях по 7 кубиков, убрав одиночный с угла и скрутив площади до предела, что бы как то использовать освободившийся угол для другой грани была...
но как предложил Холмс (который работает над докторской диссертацией по физике элементарных частиц в Рочестерском университете) умудриться расположить на ней еще целых 6 кубиков, набрав в общей сложности 20 прикосновений на всего 3х гранях, я не догадался, вот теперь терзают сомнения, может мало думал...

На нижнюю грань  - четыре. На верхнюю - четыре. По два с двух боков. И еще по одному на две последних грани. Всего - четырнадцать.

У меня получается склеить 13 кубов, считая средний. По два на каждую грань.