После строительства осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки.
Если укладывать по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 8 пл. в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 9- тоже остается неполный ряд, в котором на 6 пл. меньше, чем в неполном по 8 пл. Сколько всего плиток осталось?

Не очень понятно, для чего в задаче информация о нехватке плиток для выкладывания квадрата размером 10х10, вероятно, чтобы запутать учеников. Ну да ладно.
Поскольку в неполн. ряду из восьми плиток кол-во плиток на шесть штук больше, чем в неполн. ряду, выложенном из девяти плиток, то кол-во полных рядов равно шести.
Таким образом, кол-во оставшихся после стр-ва плиток равно сумме плиток в шести рядах по девять штук и кол-ва плиток в неполном ряду из 9 шт. или сумме пл. в шести рядах по восемь штук и кол-ва плиток в неполн. ряду из восьми шт.
При этом кол-во плиток в неполн. ряду из восьми шт. должно быть больше шести, но меньше восьми. Очевидно, что под этот критерий попадает только число семь. Тогда в неполн. ряду из девяти плиток уложена (7- 6) = 1 плитка.
А всего плиток осталось после стр-ва (6 * 9 + 1) = (6 * 8 + 7) = 55 штук.
                                                                              

Задачка не из простых. Здесь нужно думать математически плюс логически, что не каждому дано. поэтому просто берем карандаш в руки и рисуем на листочки плитки в рядах: один прямоугольник будет строиться из рядов по 9 плиток, а другой по 8 в каждом. В итоге наблюдаем видимую разницу в прямоугольниках на одну плитку в каждом ряду. Путем увеличения рядов, растет и разница. После шестого ряда образуется разница в 6 плиток. Следовательно в восьмиплиточном прямоугольнике в неполном ряду должно быть на 6 плиток больше, чем в девятиплиточном прямоугольнике, а это 1+6 - наблюдается в шестом ряду.
Следовательно получаем: 6*8=48 плюс остаток в 7 плиток, в итоге 55. Это же условие выполняется, если 9*6=54 плюс остаток в 1 плитку, в итоге тоже 55.
Данное число еще и меньше 100, что удовлетворяет условию, которое изложено в третьем предложении задачи.
Ответ: 55 плиток осталось у строителей.

Если на десять полных рядов не хватает плиток, чтобы уложить квадрат, то количество плитки менее 10 на 10, а другими словами - менее ста плиток. Если укладывать по восемь плиток в неполном ряду, то может быть только семь плиток, потому что при укладывании по девять штук, получается неполный ряд, в котором меньше на шесть плиток.
Нам необходимо подобрать число меньше 100, которое при делении его на восемь, даст нам остаток семь, а если мы разделим это число на девять, то у нас должен быть остаток 1. Искомым числом будет число 55. Разделив 55 на 8, получим 6 (остаток 7), а разделив число 55 на 9, получим 6 (остаток 1).
Верный ответ: 55 плиток.

Ясно, что общее количество плиток менее 100. Если уложить n рядов по 8 плиток, и количество плиток в неполном ряду обозначить х, то N=8*n+x. Если уложить m рядов по 9 плиток, и количество плиток в неполном ряду обозначить (х-6), то N=9*m+х-6. Очевидно, что x<8 и х-6>0, откуда 6<x<8. и х=7.
Приравняв два выражения для N, получим: 8*n+7=9*m+7-6, далее, 8*n=9*m-6, 8*n=3*(3*m-2). Из последнего выражения ясно, что n кратно 3. т.е. левая часть равна 24, 48, 72 или 96. После сокращения на 3 получим:
3*m-2=8, или 3*m-2=16, или 3*m-2=24, или 3*m-2=32, иначе 3*m=10, или 3*m=18, или 3*m=26, или 3*m=34. Поскольку m целое число, то годится только вариант 3*m=18, откуда m=6, и n=8, и N=55.
Ещё один, более наглядный вариант. Продолжим из первого раздела.
Первая укладка: по 9 плиток в ряд, в неполном ряду одна плитка.
Вторая укладка: по 8 плиток в ряд, в неполном ряду семь плиток.
Если в первой укладке из каждого ряда уберём по одной плитке, то получится вторая укладка. Лишние плитки укладываем в неполный ряд. Поскольку во второй укладке в неполном ряду 7 плиток, то переложить нужно 6 плиток.
Значит впервой укладке было 6 рядов по 9 плиток (9*6=54) и 1 в неполном ряду 54+1=55 плиток.
Во второй укладке те же 6 рядов по 8 плиток (8*6=48) и 7 в неполном ряду, 48-7=55 плиток.

Расскажу, как решать задачу про плитки (5 класс):
Дано х (плиток).
х меньше 100 (так как для площадки 10 на 10 плиток не хватит).
х не кратно 8 (так как при укладывании по 8 плиток один неполный ряд)
х не кратно 9 (так как при укладывании по 9 плиток остается неполный ряд).
Остаток деления числа х на 8 больше, чем остаток деления числа х на 9, на 6 единиц (плиток).
Остаток при делении на 8 - это число меньше 8 (целое число от 1 до 7). От него надо отнять 6, чтобы получить остаток деления на 9, которое должно быть меньше 9 (целое число от 1 до . Значит, остаток деления на 8 - это число 7, а остаток деления на 9 - это число 1.
Найдет такое число на пересечении рядов (8+7)=15, (8*2+7)=23, (8*3+7)=31, 39, 47, 55, 62, 70, 78, 86, 94.
Второй ряд (9+1)=10, (9*2+1)=19, (9*3+1)=28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.
Совпадает число 55 - это ответ задачи про плитки.
Проверяем:
55:8=6 и 7 в остатке
55:9=6 и 1 в остатке.
Разница между остатками 7-1=6.
По сути ответ найден подбором, но мой ребенок так и решал ее, ему так легче было.

Прежде всего учтем что плиток было меньше 100, так как не смогли выложить квадрат со стороной 10 плиток.  Ну а дальше рассмотрим тот ряд который оказался неполным.  и обозначим, что для ряда в 8 плиток он содержит а  плиток, а для рядов в 9 плиток это будет в. Теперь учтем, что а  меньше 8.  А  а-в=6. И теперь скромный логический вывод что а  больше 6 но меньше 8 и следовательно а=7. Ну а теперь рассмотрим ряд чисел меньще 100  и которые при делении на 8 дадут остаток 7. И вот эти числа.
95, 87, 79, 71, 63,55.47, 39,31.  Дальше нет смысла приводить, так как нам еще и придется рассматривать числа которые делятся на 9 и с остатком 1 так как он по условию меньше остатка отделения на 8.  Так что из всех чисел , которые приведены подходит именно  55 . И это правильный ответ.

Для пятиклассника, скорее всего, подходит логический вариант решения. В неполном ряду 8 пл. укладки максимальное число плиток 7. Тогда для 9 пл. укладки в неполном ряду должна быть 1 плитка, так как в нем по условию на шесть плиток меньше. Запишем все варианты 8 пл. укладки 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95. При делении на 9, только в числе 55 имеем в остатке 1. Следовательно оно выражает количество оставшихся плиток.

Т.к. не указанно к какой теме относится задача, привожу общее рассуждение по решению.
Осталось некое число плиток и это количество нужно найти.
Т.к. сказано, что для выкладывания квадрата по 10 шт. в ряд плиток не хватает, то можно сделать вывод, что плиток меньше 10х10=100 шт.
Дальше, по условию, пытаются укладывать плитку по 8 и 9 штук в ряд, но последние ряды получаются не полными, причём в неполном ряду по 8 плиток на 6 шт. больше, чем в неполном по 9 шт. Т.к. неполный ряд по 8 плиток не может содержать больше 7 плиток, а, в то же время, должен быть на 6 плиток больше, чем в неполном по 9 шт., можно сделать вывод, что неполный ряд по 9 плиток состоит из 1 шт. (7-6=1) и неполный ряд по 8 плиток состоит из 7 шт.
Если обозначить количество целых рядов как х, то количество плиток при укладывании по 8 шт. в ряд можно записать как 8х+7, а по 9 шт. в ряд как 9х+1. По условию, количество плитки для укладки одинаковое, следовательно можно записать уравнение:
8х+7=9х+1
х=6 - целое количество рядов при укладывании плитки.
Отсюда количество оставшейся плитки 8*6+7=55 (шт.) (или 9*6+1=55).
Эту задачу можно решать несколько иначе с этапа составления уравнения (до этого рассуждения одинаковые). Не составляя уравнение, подбираем число меньшее 100, которое делится на 8 с остатком 7 и на 9 с остатком 1. Получаем всё те же 55.
55:8=6 7/8
55:9=6 1/8

Задачу считаю некорректной. Нельзя дать такую задачу пятикласснику без предварительной подготовки (объяснения) такого варианта решения. Да и само решение  - это не математика.
Поясню. Многие отметили что задача на логику. Но логика теряется с первого предложения. Я извиняюсь, но какими дебилами должны быть строители, чтобы имея 55 плиток, пытаться выложить квадрат 10х10. Ну это же бред. Так как я верю, что большинство детей адекватны - то первым же предложением условия задачи - они вводятся в заблуждение.
С остатками понятно. Это решаемо.
Далее детям, по программе которых идут уравнения с одни неизвестным, может показаться что нужно решать уравнение. Но как показали выше, мы не можем из условия рассчитывать на одинаковое количество рядов. Поэтому уравнение с двумя неизвестными, решения которому нет ( только в частном случае ).
Решение подбором чисел?
И где тут математика?
Глупая задача, оторвана от программы, вводит в заблуждение. В текущий момент входит в ВПР и время на решение ограничено. Дети не решат ее - зачем тогда она? Потешить кого то?

Решать задачу следует, в том порядке, в каком приводятся ограничивающие решения условия.
Для начала следует усвоить, что плиток не хватает на квадрат со стороной в 10 плиток, т.е. их осталось меньше 100 (10*10).
Следующее условие касается укладывания 8 плиток в ряд: один ряд при этом останется неполным, т.е. в нем будут 7 или менее плиток (минимум - одна).
И тут накладывается следующее условие, согласно которому, в этом неполном ряду по 8 плиток на 6 плиток больше, чем в неполном ряду по 9 плиток. Наличие неполного ряда говорит о том, что в нем есть хотя бы одна плитка. Значит, в неполном ряду может быть не менее 7 плиток (1+6).
Получили, что в неполном ряду по 8 плиток, как ни крути - 7 плиток.
А в неполном ряду по 9 плиток - 1 плитка.
Остается только найти число менее 100, которое при делении на 8 дает в остатке 7, а при делении на 9 - 1.
Таким числом является 55: 55:8=6 и 7 в остатке, 55:9=6 и 1 в остатке.
Ответ: осталось 55 плиток.

Думаю, задача более на логику, чем на математику. Я рассуждала так: поскольку количество плиток в неполном ряду 8-ми-плиточной дорожки может быть только 7,  (если  их 8 - то - ряд будет полный, а если 6 - то вообще пустой), то для решения задачи необходимо установить, а сколько полных рядов было выложено строителями.
Далее: 9=8+1, а плиток у нас осталось лишних в 8-ми плиточном ряду 6 штук, следовательно выложено шесть полных рядов по 8 плиток, это 48 плиток и один неполный ряд из 7 плиток: 48+7=55

Мы с ребенком тоже долго рассуждали и в итоге он решил своим путем.
Квадрат 10х10=100
Квадрат 8?8=64
Квадрат 9?9=81
100-81=19
100-64=36
19+36=55
Уж не знаю будет ли такое решение считаться верным?

Условие задачи сформулировано не корректно и не может привести к ответу: 55 плиток. Изначально заявлена о прямоугольной площадке возле дома. Затем идет: "Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит." Закономерен вывод, что наша прямоугольная площадка возле дома является квадратом, что не противоречит определению квадрата:квадрат - прямоугольник с равными сторонами. Но тогда и рядов должно быть 8,если в нем 8 плиток и 7 таких рядов уже дают 56 плиток, а с остатком 7 плиток в неполном ряду - 63 плитки. Эта задача  для учеников 5 класса и формулировка задачи должна быть более доступной для учеников этого возраста и не содержать таких ляпов, ибо на неправильно поставленный вопрос нельзя получить правильный ответ. А в результате итоги ВПР получаются не достоверными.

Простите, как-то не сходится.
Квадрат из плиток 8х8 = 64.
Раз у нас один неполный ряд, то мы имеем 7 полных рядов по 8 и один ряд неполный, следовательно в нём от 1 до 7 плиток. Но 7 рядов по 8 плиток это уже 56.
Как же у вас получается 55?
P.S. А на то что площадка квадратная должна быть подсказывает нам фраза про то, что при укладывании по 8 плиток остаётся один(!) неполный ряд, а при укладывании по 9 тоже остаётся неполный ряд.... (но не говорится, что один) Т.е. до квадрата не хватает более чем одного ряда.