Основание H высоты CH прямоугольного треугольника ABC соединили с серединами M и N катетов AC и  BC. Найдите периметр четырёхугольника CMHN, если известно, что AB=13, а площадь треугольника  ABC равна 30 .

Из всех предоставленных автором вопроса данных я с ходу могу произвести только одно вычисление - определить длину той самой высоты CH. Как известно, площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание и в нашем случае это:
S = 30 = (AB * CH) / 2 = (13 * CH) / 2;CH = 2 * S / AB = 2 * 30 / 13 = 60 / 13 = 4,6154.Аналогичным образом площадь вычисляется через катеты, если треугольник прямоугольный, как в нашем случае. Только ни один из катетов нам не известен. Однако одно полезное свойство нам непременно пригодится. Точнее, далеко не одно свойство нам придётся вспомнить. А для начала хотелось бы подготовить картинку для лучшего усвоения материала:
В первом свойстве мне симпатично не столько подобие треугольников, сколько утверждение того, что все три получаются прямоугольными. Но давайте сразу вспомним следующее:
Если проведённая высота CH даёт нам два прямоугольных треугольника ∆ACH и ∆BCH, то для каждого из них отрезки MH и NH являются медианами и равны половинам соответствующих гипотенуз.
MH = AC / 2 = MC = AM;NH = BC / 2 = CN = NB.Что нам это даёт? В слагаемых при определении периметра P вместо MH мы можем подставить AM, а вместо NH - NB, соответственно:
P = CM + MH + CN + NH = CM + AM + CN + NB = CA + CB.Сомнений нет, периметр заданного четырёхугольника равен сумме катетов большого прямоугольного треугольника. Осталось только их найти. Поскольку они не только катеты, но и гипотенузы для двух меньших треугольников, можно попробовать выразить их длины через одну общую сторону и фрагменты большой гипотенузы AB = AH + HB:
AC² = AH² + CH²;BC² = BH² + CH².Хорошо, но мало. Нам пока известно значение CH, а с соотношением AH и BH никак не удаётся определиться. И тут самое время вспомнить ещё одно полезное свойство прямоугольных треугольников:
Пропускаем первый пункт, а из второго следует:
AC² = AB * AH = 13 * AH;BC² = AB * BH = 13 * BH.На сколько я вижу, из последних четырёх формул можно собрать пару квадратных уравнений типа ax² + bx + c = 0:
AH² + CH² = 13 * AH;AH² - 13 * AH + (60/13)² = 0;BH² + CH² = 13 * BH;BH² - 13 * AH + (60/13)² = 0.С вашего позволения я воспользуюсь онлайн-калькулятором, для которого подставлю значения:
a = 1;b = -13;c = (60/13)² = 21,30177515.Полученные корни уравнения и являются длинами катетов AH=11,076923076696833 и BH=1,9230769233031637. Это не страшно, что так много цифр в дробной части. Эти числа нам понадобятся в виде квадратов, которые мы подставим в следующие формулы:
AC = √(CH² + AH²) = √((60/13)² + 11,076923076696833² = 12;BC = √(CH² + BH²) = √((60/13)² + 1,9230769233031637² = 5.А наш периметр, как вы помните, равен сумме этих двух значений:
P = AC + BC = 12 + 5 = 17.Для проверки умножим длину одного катета на длину другого и полученное произведение разделим пополам:
12 * 5 / 2 = 60 / 30 = 30 = S.Как и ожидалось, мы получили площадь большого прямоугольного треугольника через длину его катетов. Всё совпало - она равна 30-ти, как и было задано. Таким образом периметр четырёхугольника CMHN равен семнадцати.