{ x+y+z+t=10
{ x^2+y^2+z^2+t^2=30
{ x^3+y^3+z^3+t^3=100
{ xyzt = 24
Натуральные решения очевидны: это (1;2;3;4) во всех 24 перестановках.
Вопрос в том, чтобы найти иррациональные решения.
Или доказать, что их не существует.

Симметрические системы решаются при помощи замены Виета:
{ u = x + y + z + t
{ v = xy + xz + xt + yz + yt + zt
{ w = xyz + xyt + xzt + yzt
{ s = xyzt
Получаем:
{ u = 10
{ v = 35
{ w = 50
{ s = 24
То есть, числа x, y, z, t в любой перестановке суть корни уравнения 
q⁴ − 10q³ + 35q² − 50q + 24 = (q − 1)(q − 2)(q − 3)(q − 4) = 0.
Перестановок 24, каждая есть решение.
Верно утверждение: Конечное число решений системы не превышает произведения степеней уравнений системы.
Например, если  произведение степеней уравнений системы 6, то число решений не более 6.
Но! Может быть бесконечное семейство решений.
                                                                              

Узнал решение сам.
Если перемножить уравнения, то получится одно уравнение 24 степени от 4 неизвестных, оно имеет не более 24 решений.
И все эти решения - натуральные, и уже известны.