На переменах школьники играли в настольный теннис. Любые два школьника играли друг с другом не более одной игры. В конце недели оказалось, что Петя сыграл половину, Коля - треть, а Вася - пятую часть от числа всех проведенных за неделю игр. Какое количество игр могло быть сыграно за неделю, если известно, что по крайней мере в двух играх не участвовали ни Вася, ни Петя, ни Коля

В каждой игре участвуют два школьника, поэтому Петя Коля и Вася сыграли не 1/2, 1/3, 1/5 часть от числа всех проведенных за неделю игр, а 1/4+1/6+1/10=31/60. Если в двух последних играх не участвовали ни Вася, ни Петя, ни Коля, то значит кроме них в настольный теннис играли другие школьники и всего за неделю могло быть сыграно 60 игр.
                                                                              

Попробую предложить свое решение.
Согласно условию, 1/2, 1/3 и 1/5 от всех проведенных игр в настольный теннис - целые числа.Найдем наименьшее общее кратное у знаменателей 2, 3 и 5. Это 30.
А значит общее число поединков тоже кратно 30.
Пусть оно равняется 30n.
Отсюда следует, что Петя играл 15n игр, Коля 10n, а Вася 6n.
Обозначим за х количество игр в теннис, которые играли трое школьников между собой.Максимально это могло быть 3 раза (Петя и Коля, Петя и Вася, Коля и Вася).
Т.е.х может быть равен 0, 1, 2 или 3.
Далее, за у примем количество поединков, в которых ни один из них не участвовал.
По условию задачи y>=2.
Составим следующее уравнение:15n+10n+6n-x+y=30n
Отсюда n=х-у
n здесь может принимать положительное значение при единственном значении x=3, т.к.минимальное значение y=2.
Таким образом, n может быть равно только единице.
Значит, общее число проведенных за неделю игр в настольный теннис равно 30n=30*1=30

1) Из условия можно сделать вывод, что количество игр делится на 5, на 3 и на 2. Таким образом, количество сыгранных игр делится на 30.
2) Так как каждый школьник сыграл с каждым не более одной игры, то максимальное количество игр, которое могло быть сыграно при условии, что всего n школьников, это answer = n * (n - 1) / 2.
3) Так как есть хотя бы две игры, в которых не принимали участия ни Вася, ни Петя, ни Коля, то есть еще хотя бы три участника. Таким образом, общее количество участников хотя бы 6.
4) Петя сыграл половину игр. Но он не мог сыграть более (n - 1) игры. Таким образом, игр не больше 2 * (n - 1).
5) Однако всё это бесполезная информация. И Любое количество игр, кратное 30, может служить ответом на поставленную вами задачу.