Рабочие укладывали пол размера n х n плитками двух типов: 2 х 2 и 3 х 1.  Оказалось, что им удалось полностью уложить пол так, что было  использовано одинаковое количество плиток каждого типа. При каких n такое могло получиться? Резать плитки, а также накладывать из друг на  друга нельзя

На основании ответа Евгения Трохова, а также споров в комментариях, захотелось дать более развернутый ответ, подтверждающий правильность его решения. Хотя придется частично повториться.
Плиток должно быть одинаковое количество, следовательно мы будем рассматривать их в паре. Таких пар может быть целое число и они составят соответствующие площади.
m(4+3)=(7;14;21;28;3�5;42;49;56;63....�.)
Устилаемый плитками квадрат, может иметь следующие площади.
n^2=(1;4;9;16;25;36;�49;64;81....)
Очевидно, что можно рассматривать лишь те варианты где площади совпадают.
Нам подходит семь пар плиток и заполняемый квадрат 7х7.
В общем виде это можно записать следующим образом.
m(4+3)=n^2
Или применительно к вычислительной технике.
7x-y^2=0
Получим следующий график.
По оси Х количество пар плиток, по оси Y сторона заполняемого квадрата.
Поскольку нас интересуют лишь целые значения n и m. то минимальное сочетание параметров соответствует названному выше.
Очевидно, что возможные варианты будут повторяться с определенным шагом.
РЕШЕНИЕМ данной задачи будет ряд чисел взятый из ученической таблицы умножения на семь.
И остается самое интересное. Возможно ли разместить семь плиток 2х2 и семь плиток 3х1 на площади 7х7?
Да, возможно и даже в разных вариантах.
И конечно, если нам удалось заполнить такой квадрат, то возможно заполнить и любой больший квадрат, состоящий из квадратов такого же размера.
Данный рисунок подтверждает ранее полученные значения.
Красный квадрат: n=7 m=7
Зеленый квадрат: n=7*2=14 m=7*4=28
Фиолетовый квадрат: n=7*3=21 m=7*9=63
И так далее.
                                                                              

Площадь плиток 2*2=4,3*1=3. Площадь n*n можно выложить плитками 2*2 в количестве n*n/4 или плитками 3*1 в количестве n*n/3. Очевидно что  равенство n*n/4=n*n/3 не может быть не при каком n.  n*n/4 меньше n*n/3. Евген�ий трохо�в решил что при n*n=49 количество плиток каждого типа может быть одинаково, но это не верно. В вопросе не сказано что одинаковым количеством плиток разных размеров должна быть выложена точно одинаковая площадь, значит можно решать задачу для условия что площади отличались на минимальную величину Х. Тогда составляем уравнение  n*n/3-Х=n*n/4.   Х=n*n/3-n*n/4, Х=n*n*(1/3-1/4)=n*n*SHY. Минимальное Х=1 будет при n=6, количество целых плиток 3*1 будет 6 и ещё 2/3 плитки, а плиток 2*2 будет 4. За пределами квадрата 6*6 останется один квадрат 1*1 который и есть Х.

Пусть количества плиток каждого типа-х тогда :2*2=4 и 1*3=3
п^2=4х+3х=7х.
Первое решение п=7,х=7,вся площадь-49=4*7+3*7=2�8+21.
Общее решение: п=7^к,где к=1,2,3...и тд. ( хотя доказать это мне не по силам)