Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Если стрелок поразит мишень с вероятностью 0,2, то промахнется с вероятностью 1-0,2 = 0,8
Теперь разберем варианты:
1 патрон: Попадет с 1 раза с вероятностью 0,2
2 патрона: попадет с 1 раза с вероятностью 0,2 или первый раз промахнется с вероятностью 0,8 и попадет во второй с вероятностью 0,2: Итого: 0,2 + 0,8•0,2
аналогично 3 патрона: добавится что промахнется первые 2 раза и попадет третий: 0,2 + 0,8²•0,2
И так далее для n патронов: 0,2 + 0,8¹•0,2 + 0,8²•0,2 + ... + 0,8ⁿ•0,2 и эта сумма должна быть не менее 0,6
То есть видим геометрическую прогрессию с первым членом b₁ = 0,2, знаменателем прогрессии q = 0,8 и надо найти n - количество членов прогрессии, при котором сумма прогрессии Sn ≥ 0,6
Вспомним формулу геометрической прогрессии
Sn = b₁•(1-qⁿ)/(1-q)
Подставляем известные и решаем неравенство
0,2•(1-0,8ⁿ)/(1-0,8) ≥ 0,6
1- 0,8ⁿ ≥ 0,6
0,8ⁿ ≤ 1 - 0,6
0,8ⁿ ≤ 0,4
(2³/10)ⁿ ≤ 2²/10
2¹ⁿ⁻²/10ⁿ⁻¹ ≤ 1
при n = 4
2¹⁰/1000 = 1024/1000 > 1
при n = 5
2¹³/10000 = 8192/10000 < 1
**Ответ: n=5*
Решение 2
Просто подбором:
1 патрон: 0,2 < 0,6 мало
2 патрона: 0,2+0,8•0,2  = 0,36 < 0,6 мало
3 патрона: 0,36+0,8²•0,2  = 0,36 + 0,128 = 0,488 < 0,6 мало
4 патрона: 0,488 +0,8³•0,2  = 0,488 + 0,1024 = 0,5904 < 0,6 мало
5 патронов: 0,5904 +0,8⁴•0,2  = 0,5904 + 0,08192 = 0,67232 > 0,6 достаточно
Ответ: минимум 5 патронов