С вершины правильного пятиугольника ABCDE проведен отрезок СF до пересечения с продолжением его основания. Стороны пятиугольника и отрезок GF равны 1. Следует вычислить длину отрезка ЕF.

Каждый угол в правильном пятиугольнике равен 108 градусов. Отрезки АС и ED(EG) параллельны.Треуголь�ники ACF u EGF подобны. Пусть АС= а, СF=у. Находим отношения сторон. Значения а и у найдём применив теорему косинусов. Запишем сразу не отношения, а квадраты отношений:
((1+ х) ^2)/х^2=у^2/1^2
Далее:
у^2=а^2+(1+х)^2-2а(1+х)cos 72°.
(Здесь угол CAF=72°).
Найдем приблизительные значения косинусов, хотя есть u значения в радикалах ( через корень из 5)
Cos 108=-0,31
Cos 72=0.31
Далее приходим к уравнению 4-той степени, которое я не смог решить алгебраически, а только подбором.
х^4-0.38х^3+5,24х^2-2х=1
Подбором нашёл что х(приблизительно) =0,69
                                                                              

У меня есть такая идея. У пятиугольника диагонали параллельны сторонам, например, BD параллельна АЕ. На этом и основана моя идея решения.
Построим параллелограмм со сторонами ВА и AF, предположим, что это параллелограмм ABPF. Далее, если проведем отрезок DF, получим два равных треугольника: DGF и  DPF. Угол DPF равен углу ЕАВ (как противоположные углы параллелограмма), но тогда и угол DGF тоже должен быть равен углу ЕАВ, что невозможно. Значит точки D и P совпадают, а значит четырехугольник ABDF является параллелограммом. Диагональ BD можно найти по известной формуле, она равна (1+v5)/2 (v5 - кв. корень из 5). Тогда отрезок EF равен (1+v5)/2 - 1

Извините, но увидев такие бонусы, - решил поучаствовать. А вдруг перепадет?.. (Шучу, конечно).
Но решение, мне представляется, очень простым.
Из точки А проведите вниз прямую параллельную GF до пересечения с продленной DE. Точку пересечения назовем H. Треугольники EGF и EHA не только подобны, из-за равенства (попарно) всех углов (вертикальные в точке E и накрестлежащие при пересечени параллельных прямых), но они, эти треугольники, еще и равны, т.к.  по одной из сторон у них равны. Значит против угла EGF лежит сторона EF, равная стороне EA, лежащей против угла EHA = EGF, т.е. они равны по единице (1). Оказывается, треугольники не только равные, но еще и равнобедренные, т.е. каждый имеет по две стороны равных по 1 (единице).
Или, в "двух" словах: в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Значит, сторона GF=AH=1, EG=EH, 1=AE=EF=x=1.
Если это верно, значит может быть верна и моя гипотеза (Альфред Теплов) "Новая концепция сотворения Мира"... (Опубликована в международном н-т журнале № 45 "Доклады независимых авторов", в которой говорится, что Галактики "сотканы" из пространства Вселенной (точнее - из ее субстанции, занимающей все бесконечное пространство)...
На БВ см. Галактики созданы из пространства Вселенной. Гипотеза. Верите ли вы в это?

По сути дела Евгений трохов задачу решил, хотя возможно и запутался в выкладках и в результате получил сомнительные цифры. Попробую повторить его вычисления.
Диагональ АС равна 2*cos(36°). Рассмотрим треугольник ACF. Обозначим FC через у и вычислим её по теореме косинусов: y^2 = [2*cos(36°)]^2 + (1+x)^2 - 2*2*cos(36°)*(1+x)*c�os(72°).
Из подобия треугольников ACF и EGF получаем y/1=(1+х)/х, или у=(1+х)/х.
Подставляем значение у в первую формулу и получаем:
[(1+х)/х]^2 = [2*cos(36°)]^2 + (1+x)^2 - 2*2*cos(36°)*(1+x)*c�os(72°).
(1+x)^2 = 4*cos^2(36°)*x^2 + (1+x)^2*x^2 - 4*cos(36°)*cos(72°)*SHY*x^2.
Путём подбора в Excel удалось определить корень. Он равен 0,916257.
Т.е. х=0,916257
Поскольку решение (т.е. через подобие треугольников) найдено Евгением Троховым, думаю бонус заслуживает именно он. До прочтения его решения у меня не было даже идеи об использовании подобия треугольников.

Высота СК = h образует прямоугольный треугольник СКF
(х +0,5)² + h² - (у +1)² = 0 (1).
Согласно пропорциональным отрезкам в треугольнике САF
у = 1/х (2).
После подстановки (2) в (1) и преобразования получаем уравнение четвертой степени
х⁴ +х³ + (h² - 0,75)х² - 2х – 1 = 0 (3).
АС = (√5 +1)/2 = Ф (золотому сечению). По теореме Пифагора из треугольника АСК
h² = Ф² - 0,25. В результате
(h² - 0,75) =  Ф² -0,25 - 0,75 = Ф² - 1 = Ф.
Тогда
х⁴ +х³ + Фх² - 2х – 1 = 0 (4).
Вычислить длину отрезка можно одним из методов последовательных приближений (например, хорд)
Х ≈ 0, 916272725.

Сторона пятиугольника АЕ равна √5(-√5)/2≈1,17..., диагональ АС=√5(+√5)/2≈1,9... и на рисунке АС=11 см. Масштаб рисунка 1:5,8.  Х на рисунке равен 6,2. Реально Х=6,2/5,8≈1,07.