Фигура состоит из квадрата и сегмента, как на рисунке.
Центр дуги в вершине A квадрата.
1. Можно ли разбить фигуру три на равные части? Если да, то как?
2.  Как разбить фигуру на три части равного периметра?
Рис.1.

Раствором циркуля равным АС делим дугу на три одинаковые части. Строим четыре отрезка равных АВ.

Эта задача автора мне показалась намного проще, чем предыдущие. Так как эта задача в основном решается на основе школьной геометрии. Но я решил задачу в том смысле, что нужно разбить фигуру так, чтобы из полученных частей собрать три равные фигуры.
Мое решение понятно из рисунка.
Диагональ квадрата АС является радиусом дуги, значит угол САД равен 45 градусам. Проведем радиус АР, очевидно, что треугольники АСД и АРД равны, поэтому угол САР равен 90 градусам. Дуга тоже равна 90, разделим его на три части по 30,  как показано на рисунке (зеленые линии).
Теперь остается разбить половину квадрата как показано на рисунке (зеленый и красные треугольники). Угол ВАК равен 15 градусам. Остается перенести эти треугольники в правую часть и получим три равных сегмента с равными периметрами.
Или нельзя было переносить элементы, а нужно было разрезать фигуру "на месте"??

Поскольку отрезки дуги так или иначе окажутся кратными пи, то дугу делим на три равные части KL, LM и MN. Они будут вносить равныезначения в периметры фигур, поэтому дальше их считать не будем. С первой фигурой поступим просто: соединим точки А и L. В результате чего надо будет для двух оставшихся фигур также выйти на значение периметра 2 + sqrt(2). Внешние отрезки фигур 2 и 3 в сумме уже дают 2 + sqrt(2). Отложив отрезок DE, равный 0,5*sqrt(2), мы поделим внешние границы между фигурами поровну. Ломаная, разделяющая фигуры 2 и 3 также должна быть равна 1+0,5*sqrt(2).
Например, FE = 0,5 + 0,25*sqrt(2), MH = 0,25+0,125*sqrt(2), FG=HG=0,125+0,0625*s�qrt(2).

Сторона квадрата-1.Радиус окружности-L2
Площадь круга-2р
Площадь сектора-р/2
Площадь сегмента (р/2)-1
Площадь нашей фигуры р/2
Площадь одной части после деления на 3 будет р/6=2р/12,то есть мы можем выделить одну такую часть с углом в 30 градусов.
Можно вычислить некий угол х ( на рисунке) , такой что площадь половины квадрата в сумме с сектором AKM будет равна р/6.
х=30(р-3)/р.
Затем строим сектор с углом 30 градусов. Это сектор АНF.
Площадь оставшейся третьей части будет как раз тоже р/6
Интересные у вас задачи Евгений Борисович, но мнес моими мозгами неделю надо думать.

Ответ Габбаса понятнее станет, если в вверху рисунка две буквы поставить (Е и Ж например), на пересечениях сектора круга и радиусов. Отрезав треугольник АВС и положив его на АДР мы получим сектор с четверть окружности (целую фигуру, похожую на веер). А радиусы АЕ и АЖ делит её на три абсолютно одинаковых лепестка. Считаю Габбас прав.