В одном государстве 10 городов, соединённых двусторонними дорогами. Из двух городов выходит по 4 дороги, из пяти городов выходит по 2 дороги, а ещё из трёх выходит по 6 дорог. Сколько дорог в этом государстве

Для решения поставленной задачи изобразим всё это на рисунке,
где:  кружочки - это города; а цифрами обозначены дороги их соединяющие и из них выходящие, согласно заданию.
Из городов 1 и 2 выходят по 4-е дороги; из городов 3, 4, 5, 6, 7 - по две дороги; из городов 8, 9, 10 - выходит по 6 дорог. 
Затем просуммируем все полученные в результате построения дороги и получим - 26 дорог.
Ответ: в государстве 26 всего дорог.
                                                                              

Начнём считать с тех 3-х городов, у которых по 6 дорог. Это 18 дорог. Пусть эти города соединены каждый с каждым, тогда мы имеем три замкнутые дороги, который пойдут в общий зачёт дорог 12 пока не пристроенных дорог.
Теперь рассмотри два города, где по четыре дороги.
Пусть три из них у каждого города этого города соединяются с теми тремя предыдущими. Таким образом, мы пристроили ещё шесть дорог в общий зачёт. У нас осталось не пристроенными по одной дороге у последних 2-х городов и по две дороги у первых 3-х дорог, итого 8 не пристроенных пока дорог.
Четыре из последние пяти городов отдадут свои восемь дорог в общий зачёт дорог, соединившись с пяти описанными городами.
Останется один город с двумя дорогами, идущими наружу этой системы.
Итого: 19 дорог по этой схеме.

В этом государстве 18 дорог.Пусть города с шестью дорогами-А1,А2,А3, с четырьмя дорогами-В1,В2,с двумя дорогами-С1,С2,С3,С4�,С5 .Будут следующие дороги:
А2-В1
А2-В2
А2-С1
А2-С2
А2-А3
А2-А1
А1-С1
А1-С3
А1-А3
А1-В1
А1-В2
А3-С3
А3-С2
А3-С5
А3-В1
В1-С4
В2-С4
В2-С5
Как видно из схемы А1,А2,А3 повторяются по 6 раз,
В1,В2 повторяются по 4 раза
С1,С2,С3,С4,С5 повторяются по 2 раза.
То есть можно нарисовать чертеж по данной схеме.У меня комп не позволяет,не умею.

Из двух городов выходит по 4 дороги, 4*2=8 дорог, из пяти городов выходит по 2 дороги, 2*5=10, а ещё из трёх выходит по 6 дорог,6*3=18. Всего получается как бы 8+10+18=36 дорог. Но в государстве только 10 городов. Куда же ведут 36 дорог ? Каждая дорога соединяет два города, поэтому дорог в государстве не 36, а 18. У каждой дороги два выезда во встречных направлениях.

Заметим, что каждая дорога привязана ровно к двум городам. Тогда для того, чтобы найти общее количество дорог, достаточно сумму дорог по всем городам разделить надвое. Таким образом, количество дорог в этом государстве следующее:
(2 * 4 + 5 * 2 + 3 * 6) / 2 = (8 + 10 + 18) / 2 = 36 / 2 = 18.
Ответ: В государстве находится 18 дорог.