Дорогу длиной 21 км первая бригада рабочих ремонтирует за 8 дней, а вторая бригада за 6 дней. Сколько километров дороги отремонтируют первая и вторая бригады работая совместно? (Производительность обеих бригад в день одинакова)

Честно говоря, действительно, задачка какая-то чудная и по условию логично было бы спросить не "сколько километров дороги отремонтируют первая и вторая бригады работая совместно?", а "За сколько дней отремонтируют дорогу обе бригады работая вместе?" ( насчёт "производительности" правильнее было бы сказать не "одинакова", а, к примеру, "постоянна за всё время работы", но это всё вопросы к составителю задачи.
По этим данным можно нарешать следующее:
21 / 8 = 2.625 - производительность первой бригады в день,
21 / 6 = 3.5 - производительность второй бригады.
2.625 + 3.5 = 6.125 километров дороги в сутки отремонтируют две бригады работая совместно. В принципе, это могло бы быть ответом на эту задачу, если бы в условии было уточнение "в сутки" или "в день".
Теперь можно вычислить и время, которое потребуется двум бригадам, для того чтобы сделать ремонт все той же дороги совместными усилиями:
21 / 6.125 = 3.4285714285 или приблизительно, если округлять до сотых 3.43 дней.
Если же нужно узнать "сколько километров дороги отремонтируют первая и вторая бригады работая совместно", то нужно их общую производительность 6.125 километров дороги в день умножить на время их совместной работы, к примеру:
6.125 × 6 = 36.75 километров, если бригады будут работать вместе 6 дней или
6.125 × 8 = 49 километров, если бригады будут работать совместно 8 дней.
                                                                              

Я бы решила задачу так:
1) первая бригада за день ремонтирует 21/8=2.625 км дороги
2) Вторая бригада за день ремонтирует 21/6=3.5 км дороги
3) Вместе обе бригады за день отремонтируют 2.625 км +3.5 км =6.125 км
4) у второй бригады отпущено по плану на ремонт 6 дней. Таким образом, вместе обе бригады будут иметь возможность поработать 6 дней, отремонтировав за это время 6.125 км*6 дней = 36.75 км дороги

В задаче два противоречия.
Производительность бригад в день разная.Не ясно за какой срок нужно посчитать километраж работы обеих бригад.Задача не корректна.

решение:
1)первая бригада за 1 день отремонтирует 21/8 км дороги, вторая бригада отремонтирует 21/6 км дороги.
2) за 1 день они вместе отремонтируют 21/8 + 21/6 км дороги. Приведём к общему знаменателю и сложим две дроби:
63/24 + 84/24 = 147/24 км = 6,125 км
3)21 км / 6,125 км = 168/49 дня они работают вместе, чтобы отремонтировать дорогу длинною 21 км.
4)(21/8 км в день)*(168/49 дня) = 9 км отремонтирует 1 бригада за это время
5) (21/6 км в день)*(168/49 дня) = 12 км отремонтирует 2 бригада за это же время

Если решать эту задачу длинным способом, то это выглядит следующим образом:
1) 8+6=14 дней
2) 21+21=42 километра
3) 42:14=3 километра в день производительность бригад.
4) 6×3=18 км первая бригада
5) 8×3=24 км вторая бригада
6) 18+24=42 км
Ответ: 42 км отремонтируют обе бригады работая совместно при одинаковой производительности.
Но проще было просто сложить длину дороги отремонтированной одной и другой бригадой.

Если производительность бригад разная, то за 6 дней первая отремонтирует дорогу длиной в 21 км, а вторая за то же время отремонтирует 6 деленная на 8, то есть 75 процентов той же дороги, а 75 процентов от 21 км, то есть 15, 75 км. Если эту двойную сумму 36,75 км разделить разделить на 6 получить общая производительность бригад за день -6, 125 км в день. 

Производительность первой бригады s1=21/8=2,625 км/в день, производительность второй бригады s2=21/6=3,5 км/в день. В вопросе не сказано сколько дней бригады работают совместно. Если считать, что они работают совместно 1 день, то они за один день они отремонтируют 2,625+3,5=5,625 км.