Пусть M и N — середины сторон BC и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что S(ABCD)<4S(AMN), где S(ABCD) - площадь четырёхугольника ABCD, а S(AMN) - площадь треугольника AMN.

Существует целый ряд задач по геометрии, которые на первый взгляд никак не решаются без подстановки конкретных значений длин сторон, периметров или площадей. Но после внимательного рассмотрения понимаешь, что без них можно и обойтись. Я и над этой задачей думал долго, пока не осенило. В итоге всё оказалось на столько просто, что даже обидно за потерянное время. Но давайте смотреть вперёд и первым делом я предлагаю изготовить чертёж. С картинкой всегда быстрее и проще решать подобные задачи.
Отметив середины двух сторон BC и CD, я соединил их отрезком MN. Затем соединил его концы с вершиной A. По условиям задания этого достаточно. Но, забегая вперёд, я предлагаю соединить вершины B и D. Таким образом мы получим треугольник ∆BCD, для которого отрезок MN является средней линией:
Эта самая средняя линия делит треугольник на трапецию BMND и меньший треугольник ∆CMN. При этом площади треугольников соотносятся как один к четырём. Это следует из соответствующего свойства:
Запомним:
S(∆bcd) = 4 * S(∆cmn)А теперь можно убрать отрезок BD и вместо него соединить две другие вершины четырёхугольника - A  и C. На этом этапе мы получаем два новых треугольника ∆ABC и ∆ACD, в каждом из которых уже проведено по медиане - AM и AN, соответственно.
Надеюсь, вы тоже хорошо помните, что каждая медиана делит свой треугольник на два, равные по площади. В итоге мы получили две такие пары:
S(∆abm) = S(∆acm) = S(∆abc)/2 = S1S(∆acn) = S(∆adn) = S(∆acd)/2 = S2Тогда площадь всего четырёхугольника ABCD может быть представлена как сумма площадей четырёх треугольников, которые мы уже обозначили:
S(abcd) = S(∆abm) + S(∆acm) + S(∆acn) + S(∆adn) = S1 + S1 + S2 + S2 = 2(S1 + S2)Но согласно заданию нам необходимо сравнить эту площадь с площадью треугольника ∆AMN. Точнее, с с суммой четырёх таких площадей. При этом лично я вижу следующую ситуацию на чертеже:
S(∆amn) = S(amcn) - S(∆cmn) = (S1 + S2) - S(∆cmn)4*S(∆amn) = 4*(S1 + S2) - 4*S(∆cmn)Теперь из четырёх площадей треугольника можно вычесть площадь четырёхугольника и посмотреть на то, что получится:
4*S(∆amn) - S(abcd) = 4*(S1 + S2) - 4*S(∆cmn) - 2(S1 + S2) = 2(S1 + S2) - 4*S(∆cmn)4*S(∆amn) - S(abcd) = S(abcd) - 4*S(∆cmn)Наконец-то, пришло время вспомнить о самом первом вычислении, где мы разбирались с площадью треугольника, отсечённого средней линией MN. Помните? Если да, то запись можно преобразовать в следующий вид:
4*S(∆amn) - S(abcd) = S(abcd) - S(∆bcd)Площадь четырёх треугольников ∆AMN действительно больше площади одного четырёхугольника ABCD. При этом она больше на ту же площадь, что занимает треугольник ∆ABD. Удивительно, но факт - мы обошлись без каких-либо конкретных значений, а задача решена.