В школьном турнире по шахматам соревновались мальчики и девочки, причём мальчиков было в 5 раз больше, чем девочек. По правилам турнира каждый шахматист играл с каждым другим дважды. Сколько всего игроков принимали участие, если известно, что мальчики набрали в сумме ровно в два раза больше очков, чем девочки? (За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков.)

Пусть девочек будет х человек,
Тогда мальчиков будет в 5 раз больше = 5х человек.
То есть всего в турнире принимало участие х+5х = 6х человек
Теперь про очки. в каждой партии разыгрывалось 1 очко. Каждый игрок сыграл с каждым: то есть Это число сочетаний из 6х по 2 C²₆ₓ = (6x)!/((6x-2)!•2!) = 6х•(6x-1)/2
(Если не понятно, то всего 6х игроков. 1-й сыграл 6х-1, 2-й: 6х-2 и т.д 6х-вый: сыграл 6х-6х =  0.
Итого сумма: (0+6х-1)•6x/2 = 6x•(6x-1)/2 ).
Но они сыграли партии по 2 раза:
Всего было сыграно: 6х•(6x-1)
И раз в каждой партии 1 очко, то всего было разыграно 6х•(6x-1) - очков
Мальчики набрали в 2 раза больше, чем девочки. То есть всю сумму очков надо разделить на 3 части и одна часть девочек, а две части мальчиков.
6х•(6x-1)/3 = 2х•(6x-1) - столько очков набрали девочки.
4х•(6x-1) - столько очков набрали мальчики
С другой стороны девочек х: Девочки могут сыграть каждая с каждой по 2 раза: х(х-1) и еще каждая со всеми мальчиками по 2 раза х•5x•2 = 10x²
Таким образом девочки максимум могут набрать: x(x-1) очков между собой + 10x² очков если выиграют у всех мальчиков
получаем: 2x•(6x-1) ≤ x•(x-1) + 10x²
12x² - 2x - x² + x - 10x² ≤ 0
x²-x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
Но при этом x - натуральное
Значит х=1
1-девочка наберет 10 очков (девочка выиграла все партии у мальчиков: 5 мальчиков по 2 раза = 10)
5 - мальчиков наберут 20 очков (мальчики, например, каждый по 1 разу выиграл у остальных 4, а остальные партии проиграл. каждый наберет по 4 очка Итого 20 очков)
Всего получится 6 игроков: Девочка - чемпион! и мальчики - середнячки
Ответ: всего в турнире участвовало 6 игроков.
                                                                              

В школьном турнире по шахматам соревновались мальчики и девочки, причём мальчиков было в 5 раз больше, чем девочек. По правилам турнира каждый шахматист играл с каждым другим дважды. Сколько всего игроков принимали участие, если известно, что мальчики набрали в сумме ровно в два раза больше очков, чем девочки? (За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков.)
Девочек было "х", Мальчиков "5х" Всего было "6х". Каждый сыграл по 2*5 = 10х партий. Всего было сыграно 60х партий. всего будет 30 очков.  1 человек может набрать максимум 10 очков: все выигрыши, а оставшиеся 20. Я всяко считала: Один выигрыш и один проигрыш плюс 3 ничьи получится 2 очка
(50 -  10)/2 = 20.
Если одна девочка наберёт 10 очков, то 5 мальчиков наберут 20 очков. Но могло быть и в 10 раз больше: 10 девочек и 50 мальчиков.
Мой ответ: в турнире принимали участие 1 девочка и 5 мальчиков.