Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 9 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

Что-то у большинства, ответивших выше, какие-то больно уж мудренын рассуждения, тогда, как задача не такая уж и хитрая на мой взгляд, да и решается она, чуть ли не в одно-два действия.
Каждый новый разрез доски увеличивает количество кусков ровно на одну штуку, при этом не важно отпиливали каждый раз кусок от новой доски или резали на куски одну единственную доску, а остальные при этом остались нетронутыми.
Так как поперечных распилов было сделано 9 и, соответственно, этими разрезами количество кусков увеличилось на те же 9 штук, а так как в результате этого общее количество кусков станет равно 17, то изначально досок взяли 17 - 9 = 8.
Впрочем, можно посчитать несколько иначе:
допустим изначально было Х досок, а  резали на куски только одну из них, следовательно, ( Х - 1 ) доска осталась нетронутой, а из последней доски получилось 1 + 9 = 10 кусков, что в сумме составило ( Х - 1 ) + 10 = Х + 9 кусков, что по условию задачи равно 17 кускам, а значит можно составить простое уравнение:
Х + 9 = 17
Х = 17 - 9
Х = 8
В общем, как не пили, а...
Ответ: изначально взяли 8 досок.
                                                                              

Данная задачка требует нетривиального подхода.
Проблема заключается в следующем. Один распил максимум может дать нам два куска. В таком случае в результате 9 разрезов 9 досок мы получим число 18. Оно превышает условие задания.
Что же тогда делать? Может одну доску просто не пилить?
А что нам мешает распилить уже отпиленную часть доски? В условии об этом ни чего не сказано. Но ведь ничто не мешает нам распилить хотя бы одну доску дважды.
Страшное условие задания нас совсем запутало.
7 разрезов 7 досок дают 14 кусков плюс 2 разреза одной доски даёт три кусочка.
14+3=17
7+2=9
Таким образом, нам понадобиться восемь досок. Всё оказалось так просто.
Правда, если пилить кусочки досок, то численность пиломатериала можно значительно уменьшить.

Вспомогательные определения/аксиомы:
Доска -- ограниченное связное множество.Кусок -- [необязательно собственное] подмножество доски или куска.Распил -- разбиение одного куска на два куска. Распил естественным образом ассоциируется с поверхностью распила -- т.е. общей частью границ компонент, образующихся при распиле. Поверхность распила может быть гомеоморфна диску или сфере; в последнем случае, такая поверхность делит кусок/доску на две части в смысле теоремы Жордана-Брауэра.N.B., один распил разбивает не более одного куска (см. решение от Nasos, построенное в другой "аксиоматике").
Гипотеза 1
n досок распиливаются m распилами (с поверхностями распила, непересекающимися с границами кусков [и друг с другом]) на n+m кусков.
Доказательство
Я попытался использовать двойную индукцию по n и m; правильно ли я её применил, пока не понятно (результат получается немного подозрительным).
Начнём с того, что n кусков всегда можно разбить m=0 распилом на n+m = n частей. Пусть теперь для любого k<m верно, что n досок можно распилить k распилами на n+k кусков. Воспользуемся этим, т.е. возьмём n досок и m-1 распилом разделим их на n+m-1 кусков. Теперь выберем любой из этих кусков и ещё одним распилом разделим его две части. В итоге у нас получится n+m кусков, полученных, в общей сложности, m распилами. Q.E.D.
При m=9, согласно гипотезе 1, должно получиться n+9=17 кусков, откуда n=17-9=8 досок. Ответ: восемь досок девятью распилами делятся на семнадцать кусков, причём независимо от формы распилов, последовательности их выполнения и их распределения по доскам и кускам, при выполнении условия о непересечении распилов с границами.

7 досок по одному распилу получится 7 распилов и 7*2 = 14 кусков.
Взять ещё одну доску. Но эта одна доска на треть больше 7-и одинаковых, а на ней сделать 2 распила. Получится 3 куска.
Всего кусков 14 + 3 = 17. Подходит к условию.
Всего распилов 7 + 2 = 9. Подходит к условию.
Всего досок 7 + 1 = 8.
6 досок по одному распилу получится 6 распилов и 6*2 = 12 кусков.
Взять ещё одну доску. Но эта одна доска на две трети больше 6-и одинаковых, а на ней сделать 3 распила. Получится 4 куска. Не подходит по кускам.
5 досок по одному распилу получится 5 распилов и 5*2 = 10 кусков.
Взять ещё одну доску. Но эта одна доска больше 5-и одинаковых, а на ней сделать 4 распила. Получится 5 кусков. Не подходит по кускам.
4 доски по одному распилу получится 4 распилов и 4*2 = 8 кусков.
Взять ещё одну доску. Но эта одна доска больше 5-и одинаковых, а на ней сделать 4 распила. Получится 5 кусков. Не подходит по кускам.
3 доски по 2 распила получится 6 распилов и 3*3 = 9 кусков.
Взять ещё две доски. положить одну на другую, а на ней сделать 3 распила. Получится 2*4 куска. всего 9 + 8 = 17 кусков. 6 + 3 = 9 распилов.
В итоге вышло 5 досок. А до этого 8 досок. И ещё есть варианты. Я Исправила редактированием.

Задача с не очень определенным условием.
Если 1 распилом считать пиление одной доски, то соответственно тут будет 1 решение, если целую доску условно считать куском.
каждые распил добавляет 1 кусок.
9 распилов добавит 9 кусков. Соответственно изначально было k досок. Сделав 9 распилов, добавим 9 кусков. И должны получить всего 17; k+9 = 17
k = 17-9 = 8
То есть изначально должно быть 8 досок. А как их пилить будем все равно. 
Например: пилим 1 доску 9 распилами - это 10 кусков и еще 7 досок без распилов - это 7 кусков.
Пилим 3 доски по 3 распила,: это 4+4+4 = 12 кусков и еще 5 досок без распила.
Или как предлагала Ира ЛДВО: 7 досок по 1 распилу = 14 кусков и восьмая доска 2 распила = 3 куска. Чем только Иру данный вариант не устроил не понимаю.
Если же подразумевать, что можно доски класть в ряд и одним распилом пилить сразу несколько досок. То тут сразу возникает множество решений. По сути все же это не 1 распил, а несколько, да и смысл задачи теряется, но в условии все же стоит оговаривать такие вещи.
Ответ: 8 досок, если распилом считать пиление 1 доски.

Можно порассуждать и в буквенном варианте.
Пусть п досок распилили "а" разрезами.
А р досок распилили "в" разрезами. Тогда:
а+в=9
п(а+1)+р(в+1)=17
Смотрим и подбираем:
1вариант:а=1,в=8,р=1�,п=4
То есть 4 доски пилим 1 распилом и получаем 8 кусков. А 1 доску пилим 8-мью распилами и получаем 9 кусков
1+8=9
8+9=17
2вариант:а=2,в=7,р=1�,п=3
То есть 3 доски пилим 2-мя распилами и получаем 9 кусков, а 1 доску пилим 7(семью) распилами и получаем 8 кусков
2+7=9
9+8=17
3 вариант:а=3,в=6,р=1--нет решения
4 вариант:а=4,в=5,р=2,�п=1
То есть 1(одну) доску пилим 4(четырьмя) распилами и получаем 5 кусков, а 2 доски пилим 5(пятью) распилами и получаем 12 кусков
4+5=9
5+12=17
5 вариант:а=5,в=4--этот вариант одинаков с 4-тым вариантом
6 вариант:а=6,в=3 как и 3 вариант без решения
7 вариант: а=7,в=2, он как вариант 2
8 вариант:а=8,в=1,он как 1 вариант
Здесь я пилю сразу распилом, столько досок, сколько надо. Например, пилю сразу 3 доски и это будет 1 распил за сразу 3.

Задача интересная, вроде как на первый взгляд нерешаемая. Однако решение есть. Нужно взять две доски (d и g), доска g чуть длиннее другой.
Положить их друг на друга со смещением концов и сделать шесть распилов сразу двух досок (d+g), один распил доски d и два распила доски g:
d|d|d|d|d|d|d|d
--g|g|g|g|g|g|g|g|g
в итоге обе доски в результате девяти сквозных распилов распадутся на 17 кусков.

Да, мудрености хватает у наших участников решения данной задачи. А суть-то держится только и только на логике. Если взять отдельные 9 досок и дать им один распил количество досок, уже распиленных, равняется 9, умноженное на два + ровно 18. Ну, вот именно здесь и включим несомненно немного серого вещества мозга.Возьмем не 9 досок, а на одну доску меньше,а именно восемь,  на семи досках сделаем всего лишь один распил, уже получим 14 досок, а на восьмой доске сделаем два распила, получим уже три доски. Итак, решаем простую математическую арифметическую задачу 14+ 3 получается 17 досок. Значит нам нужно для распила 8 досок, На 7 досках мы делаем один распил, восьмую доску пилим в двух местах, что и требовалось доказать. 

Резюмируя все предложенные варианты решения, можно сделать для данной задачи такой вывод:
Досок может быть - от одной до восьми штук.
Если досок меньше восьми, то можно, складывая доски (или отпиленные от них куски) друг на друга в несколько слоёв, одним распилом за раз отпиливать от них по два, три, четыре куска - сколько нужно.
Если досок восемь, до складывать их стопкой для распила не потребуется.
Досок, более чем восемь, быть не может.