Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Ну на первом этапе найдем числа, которые точно присутствуют, начиная с начала.
Берем 7, 8, 10.  Далее идут числа, которые могут быть суммой.
Теперь посмотрим на последнее число 41. Оно равно суме всех чисел, которые были в начале.
Мы точно знаем, что у нас имеются 7, 8, и 10. В сумме это 25. До 41 не хватает 16. В указаном ряду есть число 16. Иначе можно получить 16 как 8+8. Таким образом, либо мы имеем изначальную последовательность 7,8,8,8,10 или же 7,8, 10, 16.
Определим, какая из них правильная. Из трех восьмерок и из 8 и 16 можно сделать одинаковые суммы, значит оба варианта возможны.
Далее необходимо проверить все оставшиеся числа и убедиться, что все в порядке. Если будет хоть одно различие, то задача не решаема.
Для проверки возьмем второй вариант, там нет повторяющихся сумм. Для начала проверим количество - из четырех чисел можно сделать 15 сумм с количеством от одного до 4 - совпадает. Остальные числа проверяем вычитанием- все сходится.