Докажите, что для любого натурального числа n хотя бы одно из чисел 2n+3 или 5n^2+1 является составным. Как решить?

Составное число - это число имеющее более 2 натуральных делителей, то есть имеющие натуральные делители, кроме 1 и самого числа. Рассмотрим различные варианты и найдем делители этих чисел отличных от 1 самих чисел.
1) Рассмотрим n - нечётное. Тогда n² = n•n - будет нечётным и 5•n² - тоже будет нечётным и тогда 5•n² + 1 - будет чётным и больше 2 => 5•n² + 1 - составное, так как имеет делитель = 2
2) Пусть тогда n - чётное. Оба числа получаются нечетными и явного решения не видно.
Тогда рассмотрим несколько вариантов n при делении на 3. При делении на 3 возможны три варианта:( а) остаток 0, б)остаток 1, в)остаток 2)
... а) остаток 0, то есть n = 3k
тогда выражение 2n + 3 = 2•3k + 3 = 3•(2k+1) - делится на 3 и больше 3, значит 2n + 3 - составное.
... б) остаток 1, то есть n = 3k + 1
тогда выражение 5•n² + 1 = 5•(3k+1)² + 1 = 5•(9k² + 6k + 1) + 1 = 45k² + 30k + 6 = 3•(15k² + 10k + 2) - делится на 3 и больше 3, значит 5•n² + 1 - составное
... в) остаток 2, то есть n = 3k + 2
тогда выражение 5•n² + 1 = 5•(3k+2)² + 1 = 5•(9k² + 12k + 4) + 1 = 45k² + 60k + 21 = 3•(15k² + 20k + 72) - делится на 3 и больше 3, значит 5•n² + 1 - составное
Таким образом рассмотрены все возможные варианты для n и получено во всех случаях составное число.