Как это решить В окружность вписан треуг-ик, причём центр окружности внутри... Как решить?.

Для понимания смотрим рисунок.
Имеем окружность и вписанный ∆ABC. Центр - точка O располагается внутри треугольника.
Соединим точку O с вершинами треугольника.
Получим три треугольника: ∆AOC; ∆AOB; ∆COB
1) Рассмотрим ∠AOC - это угол ∆AOC и следовательно ∠AOC < 180˚
∠AOC - центральный угол опирающийся на дугу AC. Так же на дугу AC опирается вписанный угол ∠ABC. Так как вписанный угол меньше центрального в 2 раза (опирающиеся на одну дугу), то  ∠ABC = ∠AOC/2 и соответсвенно  ∠ABC < 180˚/2;  ∠ABC < 90˚, то есть ∠ABC - острый
2) Аналогично смотрим ∠AOB и получим ∠ACB - острый
3) Аналогично смотрим ∠COB и получим ∠CAB - острый
Таким образом все три угла в треугольнике острые. ч.т.д.
П.С. К сожалению данные другие ответы до этого не являются строгим доказательством. Приводится пример прямоугольного треугольника с центром на стороне. И приводятся примеры неких остроугольных у которых центр внутри треугольника. Причем примеры приводятся некими бездоказательными утверждениями об уменьшении угла и смещениями одной из сторон. Причем не понятно, что происходит с другими сторонами и углами. 
                                                                              

Для начала рассмотрим виды треугольников. Их три: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный. Одним из свойств прямоугольного треугольника является факт, что его гипотенуза является диаметром окружности, в которую вписан треугольник. Это следует из того, что прямой угол всегда опирается на диаметр окружности. А в прямом треугольнике прямой угол как раз находится напротив гипотенузы по определению.
Так как одна из сторон прямоугольного треугольника является диаметром, то центр окружности принадлежит этой стороне. И не может находиться внутри треугольника в таком случае.
Теперь, чтобы получить остроугольный треугольник, достаточно уменьшить прямой угол на сколь угодно малую величину. При этом сторона напротив уменьшенного угла отдалится от него, и центр окружности окажется внутри треугольника. Если продолжать уменьшать угол, то в какой-то момент станет прямым соседний угол треугольника, одна из сторон станет диаметром, и центр окружности станет принадлежать ей. То есть получим исходную ситуацию, так как изначально мы рассматривали произвольный прямоугольный треугольник, который вписан в произвольную окружность.
Аналогично получим тупоугольный треугольник, увеличивая прямой угол на сколь угодно малую величину. Теперь уже сторона напротив увеличенного угла, наоборот, приблизится к нему, и центр окружности окажется вне треугольника.
Таким образом мы рассмотрели каждый вариант. И только в случае с остроугольным треугольником центр окружности находится внутри треугольника.
Ответ: утверждение о том, что центр окружности находится внутри только остроугольного треугольника, который вписан в эту окружность, доказано.

Любой угол, опирающийся на диаметр окружности будет прямым углом. При этом центр окружности, ясное дело будет, будет лежать на гипотенузе этого прямоугольного треугольника.
Если же проводить эту третью сторону треугольника так, чтобы центр окружности заходил внутрь треугольника, то тот угол, который был до этого острым, начнёт уменьшаться, превращая прямоугольный треугольник в остроугольный.