ЕГЭ. Задача. От прямоугольной столешницы отрезали все четыре угла так, что остаток от нее представляет правильный многоугольник со стороной 0,4 м.

Получился правильный шестиугольник. Длина прямоугольника была (0,4/2+0,4+0,4/2)=0,8 м, ширина - 2*(0,4*√3/2)=0,4*√3, и площадь соответственно 0,8*0,4*√3=0,32*√3 м^2.
                                                                              

Задача имеет четыре варианта решения. От прямоугольной столешницы можно получить только правильный шестиугольник и пятиугольник. Вариант шестиугольника  предложил Rafail. Очевидно, версия пятиугольника наиболее трудно воспринимаема в виду нечетного количества углов. В данном случае длина столешницы равна диагонали пятиугольника и составляет L=0,8/(√5-1), а ширина – H=0,2*√((5+√5)/(3-√5)). Произведение данных значений даст первоначальную площадь столешницы.
Из квадрата первым предложил получить правильный восьмиугольник  Сыррожа. Так же, только из квадратной столешницы путем отрезания углов можно получать меньшие квадраты (см. рис. 4). Вычислить на основании их площадь столешницы не представляется возможным  без дополнительного измерения. Единственным квадратом, из которого можно определить площадь столешницы, это наименьший квадрат, изображен на 5-ом рисунке.

Да несложно в принципе. Получившийся восьмиугольник условно можно разбить на один прямоугольник (изначально столешница была прямоугольником, а точнее - квадратом, ибо только из него можно получить правильный восьмиугольник) и двух равных трапеций. Все что нам нужно - это определить выооту этих трапеций. Для этого надо продлить одну из срезанных сторон до пересечения с перепендикуляром восставновленным на внешнее пространство от несрезанной стороны многоугольника.
Тогда получившийся внешний треугольник будет равен внутреннему треугольнику в составе трапеции (доказывавется легко). Высота отрезка восстановленного перпедикуляра и будет высотой трапеции. Берем сторону восьмиугольника, прибавляем к ней две высоты трапеций и сумму возводим в квадрат. Готово!
Для определения высоты трапеции придется прибегать к тригонометрии. Для начала вспомним теорему о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (доказывать не буду, она уже доказана). Так вот сумма углов равна 2pi умноженных на (n-2), где п в нашем случае равно 8. Все углы равны между собой, потому кадый угол будет в 8 раз меньше суммы всех углов. При этом сам он будет представлять собой прямой угол pi/2 + некая дельта, которая легко вычисляется. В вашем случае дельта будет равна pi/4 или 45 градусов. Т.е. получившийся тругольник будет прямоугольным и равнобедренным одновременно (доказательство очевидно) с гипотенузой в 0,4 метра. По теореме Пифагора вычисляем длину катета, то бишь высоту трапеции. К сожалению исходные данные выбраны неудачно и без калькулятора дальше не обойтись. Высота трапеции составит 0,2828 метра примерно.
Площаль исходной столешницы будет 0,9325 квадратного метра, опять же приблизительно.

Предлагаю такое решение для пятиугольника. На рисунке обозначим верхнюю вершину пятиугольника буквой А. Проводим вертикальную ось симметрии пятиугольника, горизонтальную диагональ ВС, горизонтальную его сторону ДЕ, внизу, и окружность через его вершины с центром в О. Точку пересечения оси симметрии с нижней стороной обозначим буквой И. Диагональ ВС будет длиной столешницы L, а отрезок АИ её высотой H. Отрезки соединяющие центр О с вершинами будут радиусами R описанной окружности. Отрезок ОИ обозначим буквой h По условию задачи стороны пятиугольника  равны 0,4 м, а половина ДИ=0,2 м =R*Sin36°, тогда R=0,2/Sin36°. h=R*Cos36°, L=2*R*Sin72°, H=R+h=R*(1+Cos36°). Площадь столешницы S=L*H=2*Sin72°*(1+Cos36°)*R^2 =2*Sin72°*(1+Cos36°)*0,04/(Sin36°)^2. Вычисляем на калькуляторе S=0,398... квадратных метра.

Первоначально столешница была квадратом, иначе путём отрезания углов нельзя получить правильный многоугольник - в данном случае правильный 8-ми угольник. Отрезанные углы должны быть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой Г=0,4 м, поэтому по теореме Пифагора его катеты К=√(0,16/2)=√0,08 м. Сторона квадрата столешницы С=0,4+2*К=0,4+2*√0,08 м, а площадь столешницы S=С^2=0,16+4*√0,08+4*0,08=0,48+4*√0,08=1,6... квадратных метра.