Некоторые такие уравнение я решать уже научился. Например:
  9x^2 + 4y^2 + 13 = 12(x + y)
Понятно, что нужно сделать:
9x^2 + 4y^2 + 13 – 12x – 12y = 0
9x^2 – 12x + 4 + 4y^2 – 12y + 9 = 0
(3x – 2)^2 + (2y – 3)^2 = 0
Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. А значит, образуется система: 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0. Получаем: x = 2/3; y = 3/2.
Это для меня понятно и достаточно легко.
Но как быть, если у нас уравнение, приводящееся к виду ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0, и (как назло) при этом ни один из коэффициентов a, b, c, d, e, f не равен нулю?
Например, такое:
  3x^2 + 2xy + y^2 = 2y – 6x – 9
Хотелось бы, чтобы кто-нибудь пояснил, как решать такие уравнения, если не трудно. Спасибо огромное. Захотелось вспомнить математику и потренироваться.

Часто такого вида уравнения решаются как квадратные относительно икса ( или игрека-неважно). И часто получается)
                                                                              

Вы знаете, это уже не школьная математика. У нас эта тема изучалась на 1 курсе матмеха на предмете "аналитическая геометрия". Эти уравнения - кривые второго порядка.
Простите, не буду углубляться в эту тему. Я назвала все своими именами и можно посмотреть по ключевым словам "кривые второго порядка". Приемчики там особенные, но теория не особо сложная. Почему не хочется объяснять: мы отрабатывали навыки решения таких уравнений в течение нескольких месяцев.

Уравнение ax+by+c=0 — это уравнение первой степени, так как каждый член его, кроме свободного члена, содержит только одно неизвестное и только в первой степени. Теперь возьмем уравнение с двумя неизвестными, содержащее, по крайней мере, один член с неизвестным в квадрате или с произведением двух неизвестных, где каждое в первой степени. Такие члены имеют вторую степень, ибо степенью одночлена считается сумма показателей его букв.