Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: 25 см и 9 см. Найдите стороны данного треугольника и площадь.

Если обозначить катеты треугольника «А» и «В», а гипотенузу буквой «С», тогда отрезки гипотенузы соответственно будут равны: Ас=9см и Вс=25см. Находим стороны треугольника. Так как в прямоугольном треугольнике А(в квадрате)=САс и В(в квадрате)=СВс ,-  А(в квадрате)=(25+9)9=30�6 и b(в квадрате)=(25+9)25=8�50 и тогда получим А=17,5 и В=29,15. Площадь треугольника S=1/2АВ=255,06(см2�)
                                                                              

Пусть a и b - это катеты треугольника, h - высота треугольника, S - площадь треугольника.
Требуется найти a, b и S.
В прямоугольном треугольника сумма квадратов катетов всегда равна квадрату гипотенузы.
У нас, как известно, получается целых три прямоугольных треугольника.
Площадь треугольника будет равна половине произведения катетов.
Решение:
Записываем систему из трех уравнений.
a²+b²=(25+9)² ;
25²+h²=a²;
9²+h²=b²;
Теперь в верхнее уравнение подставляем значение  a, b.
25²+h²+9²+h² = (25+9)² ;
25²+h²+9²+h² = 25²+9²+2*25*9;
2*h²=2*25*9;
h²= 25*9;
h²= 5²*3²;
h= 15 см. - значение высоты прямоугольника.
Теперь все просто.                                                   
a²=25²+h²; a²=25²+15²; a²=5²*5²+5²*3²;a²=5²SHY; a=5√(5²+3²); a=5√34;
b²=9²+h²; b²=9²+15²; b²=3²*3²+5²*3²;  b²=3²(3²+5²); b=3√(3²+5²); b=3√34;
Осталось лишь найти площадь по формуле: S=(a*b)/2=(5√34*3√34�)/2=15*34/2=15*17=255 кв.см.
Ответы: a=5√34; b=3√34; S=255.

Итак, имеется прямоугольный треугольник АВС, угол А прямой, АК - высота, ВК = 25 см., КС = 9 см.
Найти: АВ, ВС, АС и S.
Найдём гипотенузу ВС треугольника АВС:
ВС=ВК+КС,
ВС=25+9=34 см.
Зная свойство о соотношении между высотой треугольника проведённой из вершины прямого угла и отрезками на которые она разбивает гипотенузу найдём высоту.
АК=√(ВК*КС)
АК=√(25*9)=√225=15 см.
Рассмотрим треугольник АВК:
ВК=25 см., АК=15 см.
По теореме Пифагора: АВ=√(АК^2+ВК^2)
АВ=√(25^2+15^2)=�√(625+225)=√850=√(25*�34)=5√34 см.
Треугольник АКС:
АК=15 см., КС=9 см.
По теореме Пифагора: АС=√(АК^2+КС^2)
АС=√(15^2+9^2)=√SHY=√306=√(9*34)�=3√34 см.
Найдём площадь треугольника АВС:
S=АВ*АС:2
S=5√34*3√34:2=15�*34:2=255 см^2.
Ответ: ВС=34 см., АВ=5√34 см., АС=3√34 см., S=255 см^2.