Суть в том, что a, b, c — три различных простых числа. Думаю, что нет нужды напоминать, что такое простые числа, но это натуральные числа, которые имеют в точности по два делителя.

Грустный Роджер пошел по правильному пути, но с ошибками.
с > 2. Так как если с = 2, то aᵇ = 1, что выполнимо при a=b=1 - но это не простые числа. Или a≠0 b=0, но тогда b - не простоеТак как простые числа, кроме 2, нечетные. То есть с - нечётное. Тогда (с-1) - чётное
то есть aᵇ - чётное.
Это может быть только при условии a - чётное, то есть а = 2;
То есть надо решить 2ᵇ + 1 - простое число, где  b - простое
Рассмотрев несколько первых простых чисел b > 2 (должно быть отличное от a=2)
2³ + 1 = 8+1 = 9 - не простое, делится на 3
2⁵ + 1 = 32+1 = 33 - не простое, делится на 3
2⁷ + 1 = 128+1 = 129 - не простое, делится на 3
2¹¹ + 1 = 2048+1 = 2049 - не простое, делится на 3
Вырисовывается гипотеза, что все числа такого вида будут делится на 3
Проверим это (докажем гипотезу)
Докажем по индукции, что любая нечетная степень двойки будет давать остаток 2 от деления на 3
проверяем для n=1
2¹ = 3k + 2 (имеет остаток 2 от деления на 3)
Делаем индукционный шаг. Пусть верно для нечётного n, тогда для следующего нечетного числа (n+2)
2ⁿ⁺² = 2ⁿ • 4 = (3k + 2)•4 = 3k•4 + 6+2 = 3m+2 (остаток 2 от деления на 3)
Получили, что любая нечётная степень двойки даёт остаток 2 от деления на 3. Добавив 1 получим остаток 0. То есть число делящееся на 3.
Так как все простые больше 2 нечётные, то 2ᵇ + 1 - делится на 3 при b - простых.
Таким образом уравнение aᵇ + 1 = с не имеет решений, где a, b, с - различные простые числа.
Как было приведено в комментарии возможен единственный вариант при совпадающих простых числах a = b = 2; с = 5
2² + 1 = 5. Но это не ответ на поставленный вопрос.
                                                                              

Тут уже многие пришли к выводу, что у задачи есть только частное "решение", когда А=В=2.
Но оно противоречит условию задачи, где все числа по логике алгебры должны быть разными.
В принципе, я рассуждал примерно также, как ОлегТ [28.4K], только без всяких индукций. Хотя у меня тоже "поверхностное" образование, но я в своей инженерной деятельности давно уже усвоил правило: "забудь индукцию, гони продукцию".
Однако, сломав башку, я так и не нашел решения в поставленных условиях. Точнее нашел одно, когда А=2, В=1, С=3. Но тут оказалось, что 1 не считается простым числом. Хотя почему? Ведь оно делится на 1 (т.е. не изменяется) и на самое себя (давая ту же 1, что и прочие простые числа при таком делении)...

Это уравнение имеет единственное решение: a=1, b=1, c=2.
Ну в самом деле: раз все числа простые - то они все нечётные. Нечётное число в нечётной степени тоже будет нечётным. Прибавление к нечётному числу единицы мгновенно превращает его в чётное. Но вот чётное число, за исключением двойки, уже не простое.
Откуда и следует единственность предложенного решения.

Для решения данного уравнения в простых числах можно воспользоваться следующими соображениями:
Если b четное, то a^b + 1 является суммой двух квадратов, а значит, не может быть простым числом.
Если b нечетное, то a^b + 1 может быть простым числом только в том случае, если a + 1 делится на c.
Если a + 1 не делится на c, то можно попробовать разложить a^b + 1 на множители. В частности, можно воспользоваться тождеством (a + 1)(a^(b-1) - a^(b-2) + ... + 1) = a^b + 1. Если удастся найти нетривиальный делитель a^(b-1) - a^(b-2) + ... + 1, то это будет означать, что исходное число c не является простым.
Приведем несколько примеров применения этих соображений:
Рассмотрим уравнение 2^3 + 1 = c. Здесь b = 3 нечетное число, и 2 + 1 = 3 делится на c. Поэтому c = 3 является простым числом.
Рассмотрим уравнение 2^5 + 1 = c. Здесь b = 5 нечетное число, но 2 + 1 = 3 не делится на c. Попробуем разложить 2^5 + 1 на множители. Имеем: 2^5 + 1 = (2 + 1)(2^4 - 2^3 + 2^2 - 2 + 1) = 3*31. Значит, c может быть равно только 3 или 31. Однако 2^5 + 1 не делится на 31, поэтому c = 3 является единственным решением уравнения.
Рассмотрим уравнение 3^7 + 1 = c. Здесь b = 7 нечетное число, и 3 + 1 = 4 не делится на c. Попробуем разложить 3^7 + 1 на множители. Для этого воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: 3^7 + 1 = (3 + 1)(3^6 - 3^5 + 3^4 - 3^3 + 3^2 - 3 + 1) = 4*1093. Значит, c может быть равно только 4 или 1093. Однако 3^7 + 1 не делится на 4, поэтому c = 1093 является единственным решением уравнения.

Для простых чисел a, b и c уравнение a^b + 1 = c имеет несколько решений. Одним из таких решений может быть, например, a = 2, b = 3 и c = 9, так как 2^3 + 1 = 9.
Однако, в общем случае, решение этого уравнения для произвольных простых чисел a, b и c может быть достаточно сложным. Существует несколько методов, которые могут помочь в поиске решения, таких как методы перебора или использование теории чисел.
Один из таких методов - это использование факторизации числа c - 1. Если c - 1 имеет простой множитель, который равен b, то можно сделать вывод, что a^b + 1 делится на этот простой множитель. Это означает, что уравнение не имеет решений в простых числах для таких a и b. Если же c - 1 не имеет простых множителей, равных b, то это может указывать на возможность существования решения уравнения в простых числах.
Однако, следует отметить, что поиск решения уравнения a^b + 1 = c в простых числах может быть сложным и требует определенных знаний в области теории чисел.

Для решения данного уравнения в простых числах нам понадобится знание следующего факта: если b — нечётное простое число, то a^b + 1 делится на a + 1.
Таким образом, если b — нечётное простое число, мы можем записать:
a^b + 1 = (a + 1)(a^(b-1) - a^(b-2) + ... - a + 1) = c.
Так как c — простое число, то он имеет ровно два делителя: 1 и с. Значит, a + 1 = 1, а значит, a = 0. Но 0 не является простым числом, поэтому решения уравнения a^b + 1 = c в простых числах не существует, если b — нечётное простое число. Если же b — чётное простое число, то это уравнение решить можно, но это уже более сложный вопрос.