В Простоквашино три семьи решили построить общую баню.  Кузнецовы живит в 100 м от Федоровых и 80 м от Бондаревых, а удаленность последних между собой составляет 60 м. Федоров предложил строить баню возле его дома, так как двор у него самый большой. Бондарев возразил ему,
-Тогда суммарный путь до бани от меня и дома Кузнецовых составит 160 м. Лучше в моем дворе ее соорудить, в результате общее расстояние вашего пути до меня сократится на 20 м.
-Нет, так не пойдет, - вмешался в спор Кузнецов.  Уж, если речь идет о наименьшем пути, то пусть он будет в сумме минимальным для всех нас троих. Мужики согласились с этим вариантом, взяли колья и длинную веревку, пошли уточнять местоположение постройки. Их дети-школьники поняли затею взрослых, решили на компьютере вычислять нужные расстояния.
Как взрослым удалось определить местоположение бани, а школьникам вычислить расстояния?
P. S. Идея задачи заимствована.

Точка, в которой следует построить баню, называется точкой Ферма, и находится она удивительно легко, если знать, что такое точка Ферма и линии Симпсона. Как жаль, что такие полезные сведения давным-давно исключены из программы обычной школы и подавляющее большинство людей (по крайней мере в России и в бывшем СССР) ничего о них не знает.
Итак, что же такое точка Ферма? Точка Ферма (S) — точка (в плоскости треугольника), сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.
Если на сторонах произвольного (для простоты рассмотрим только треугольники, наибольший угол которых не превышает 120°) треугольника АВС построить (внешним образом, т.е  наружу от треугольника АВС) равносторонние треугольники АВС1, АСВ1 и ВСА1, и провести прямые линии АА1, ВВ1, СС1 (называемые линиями Симпсона), то они пересекаются в точке Ферма. При этом длины отрезков АА1, ВВ1 и СС1 будут равны между собой и равны сумме расстояний от точки S до вершин треугольника.
Таким образом, задача сводится к нахождению точки Ферма и определению длины одной из линий Симпсона.
Прежде всего отметим, что дома расположены в вершинах прямоугольного треугольника. Обозначим вершины первыми буквами их хозяев, т.е. БКФ. Тогда гипотенуза его КФ (100 м), а катеты БК (80 м) и БФ (60 м).
Для нахождения точки Симпсона достаточно построить равносторонние треугольники на двух сторонах исходного треугольника, например БКФ1 и БФК1, и натянуть верёвки между точками Ф и Ф1 и К и К1. Точка пересечения их и будет точкой Ферма.
Ну, а вычисления ещё проще.
Построим равносторонний треугольник, например, на катете БК. Проведем медиану Ф1Л из точки Ф1 к стороне БК. Очевидно, что БЛ=40 м, а Ф1Л 40*√(3) м. Тогда длина ФФ1=√((ФБ+ЛБ1)^2+(БЛ�)^2), Подставляя значения, получаем ФФ1=√((60+40*√(3))^2�+40^2)=135,3286514 м.
P.S. Что-то сайт глючит. Отправил ответ ещё 6 часов назад, а его нет, более того, даже ответ, который остался в черновике, - неполный, часть пропала. Пришлось заново дописывать.
                                                                              

В данном случае, детки за компьютером явно пострадавшая сторона.
Нахождение этой точки при помощи веревки не составит большого труда. Достаточно забить возле домов сельчан по добротному колышку. Далее, вяжем на конце веревки незатягивающуюся петлю и бросаем ее где то в середине треугольника. После чего, укладываем на землю и обводим веревку за один из колышков. Идем с веревкой ко второму колышку, обводим вокруг него и направляемся к петле, которая по прежнему валяется на первоначальном месте. Продеваем веревку в петлю и направляемся с ней к последнему колышку. Теперь когда мы начнем подтягивать веревку и тем самым сокращая ее длину используемую в вышеописанной вязи, петля захочет занять такое положение при котором, на все хитросплетение, веревки уйдет минимально. Местоположение петли после выборки всей свободной веревки и будет точкой "бани", суммарное расстояние до которой от всех трех домов будет минимальным.
А вот как решить это математически я не знаю. Одна надежда на деток.
Для тех кто и далее пытается найти цент описанной вокруг треугольника окружности и в дальнейшем определить "минимальное" суммарное расстояние равное 150 м, заявляю, что на самом деле это расстояние равно 135,329. Которое получено методом втыка и под определение решения не попадает. И конечно же эта точка не лежит на гипотенузе.
Желаю всем удачи в математическом решении.

Для начала пр решении задачи геометрическими вычислениями построим места расположения домов Кузнецовых живущих в 100 м от Федоровых и 80 м от Бондаревых, далее определим наименьшие расстояние между домами Кузнецовых, Федоровых и Бондаревых.
Для построения геометрическим путем воспользуемся циркулем, линейкой и карандашем - Чертим круги диаметрами в 100 метров, 80 метров и 60 метров ка изложено в задаче, далее остется определять наименьшие расстояния от каждого из участников строительства до бани - от Кузнецовых и Федоровых - это расстояние 50 метров, но так как Бондаревы находятся на вершине треугольника, тогда до них расстояние получается таким же в 50 метров.
На местности мужики тоже самое проделают шагами - даже проще чем математическим либо геометрическим путем потому что визуально все видно и вобъют колышки.

Продолжение.
Рафаил прав. Далеко не все интересное учат в школе.
Я тоже не знал о точке Ферма. И не удивительно. Когда то встречал справочник по характерным точкам треугольника, их математики за несколько столетий придумали более восьми сотен. Даже в голове не укладывается такое их количество.
Попытка решить задачу самостоятельно не увенчалась успехом. Наверное потому что я не Ферма.
Но все таки кое что к данной теме хочется добавить.
Как и любая задача по математике эта интересна своим аналитическим наполнением. Жизненный смысл порой в таких задачах несколько не реальный. Ну, а раз так, то почему бы не по фантазировать дальше.
Жила была бабка гадалка и нагадала она им, что если суммарный путь до бани не будет равен какому то конкретному числу, то баня в скором времени сгорит.
Очевидно, что таких точек будет множество и они образуют замкнутую кривую.
Опытным путем я определил три таких кривых, суммарное расстояние для которых равно 140;160;180 м.
Безусловно, при большем количестве точек "пятна" приняли бы более округлые формы.
По всей видимости, при уменьшении и увеличении общей суммы их форма будет стремиться к окружности.
Описать эти кривые математически наверное жизни не хватит. Но в тоже время нарисовать такие кривули при помощи веревки, не составит труда. Если сохранить схему, описанную мной в предыдущем ответе, но предварительно отмерять на веревке метку равную требуемой сумме плюс расстояние между первым и вторым столбиком. Эта метка должна быть привязана на последнем, третьем столбике. Далее петлю можно перемещать по площадке ("по кругу"), таким образом, что бы все три части веревки были натянуты. Если предварительно вставить в петлю остро заточенный колышек, то он нарисует на земле необходимую кривую.
В каком месте кривой строить баню это уже решение селян. Можно несколько увеличить минимальное расстояние до жилища и уменьшить максимальное.
Парадокс, простой веревкой можно описать сложные математические зависимости.
Ссылка на макет.
Мышкой можно захватить и перемещать точку "бани". При этом получать информацию о сумме расстояний и о расстояниях до домов селян.

Разумеется дома этих жителей Простоквашино расположены в вершинах треугольника (если на одной прямой, то не выполняется условие задачи). И этот треугольник прямоугольный (60 в кв + 80 в кв = 100 в кв). Тогда понятно, как решили проблему главы семейств. Взяли колышки и веревку (длинную)и возле каждого дома вбив колышки провели меж ними веревку. Получается, что дома расположены на окружности радиусом 50 м и точно в середине расстояния между домами Кузнецовых и Федоровых. Сумма расстояний для каждого одинаковая и равна 50 м. Задача сводится к нахождению середины отрезка между домами Кузнецова и Федорова, это легко сделать имея лишь веревку.
Дети же решили задачу используя теорему Пифагора и уравнение круга. Возможно на Екселе. Есть и онлайн-программы для построения окружности по трем точкам. Вот ссылка на видео о построение окружности.