В треугольниках ABC и ADC стороны BC и AD равны и пересекаются в т. О.
Угол ОАС = ОСА.
Докажите, что треугольники ABO = CDO.
Помогите хотя бы нарисовать чертеж.
Я не понимаю, как они расположены, если сторона АС у них общая?

Дано: Δ ABC, Δ ADC; BC = AD; ∠ OAC = ∠ OCA (обозначены на чертеже одной зелёной дугой).
Доказать: Δ ABO = Δ CDO.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники ABO и CDO. Попытаемся найти в них три пары равных элементов, среди которых есть хотя бы одна пара линейных (например, пара равных сторон):
1) Очевидно, ∠ AOB = ∠ COD. Эти углы вертикальные. У них есть общая вершина O, а пары их сторон AO — OD и CO — OB составляют продолжение друг друга. Я отметил эти два угла двумя зелёными дугами.
2) Рассмотрим треугольник AOC. По условию задачи в нём два угла равны: ∠ OAC = ∠ OCA. А значит, этот треугольник равнобедренный. Мы знаем, что каждый такой треугольник имеет две равные стороны, они лежат напротив равных углов. В данном случае это стороны OA и OC: OA = OC. Но ведь эти же стороны OA и OC есть и в треугольниках ABO и CDO. На рисунке я отметил эти стороны одним синим отрезком.
3) Что можно сказать о сторонах BO и DO? В условии задачи сказано, что AD = BC. Пусть эта величина равна p (AD = BC = p). Далее, во втором пункте доказательства (см. выше) мы нашли, что AO = OC. Пусть это будет q (OA = OC = q). Но мы видим по рисунку, что: BO = BC – OC; DO = AD – OA. Или: BO = p – q; DO = p – q. Итак, мы доказали, что эти стороны тоже равны, так как их дли́ны представляют собой разности попарно равных уменьшаемых и вычитаемых. Я обозначил эти стороны на чертеже двумя синими отрезками.
Имеем две пары равных сторон и одну пару равных углов между ними. В результате получаем, что треугольники ABO и CDO равны по первому признаку равенства треугольников: OA = OC; BO = DO; ∠ AOB = ∠ COD.
P. S. Я нарисовал треугольники ABC и ADC тупоугольными. Но они могут быть также прямоугольными или остроугольными. Суть решения меняться не будет.
                                                                              

Задача из учебника по геометрии Атанасян Л.С совместно с другими авторами, решается очень просто:
Из поставленных по условиям вопроса темы имеем (кстати, мне больше всего из имеющихся изображений и диаграмм понравился рисунок Алекс-89):
А теперь ...
Ведь, по условиям темы сторона АС - общая. К тому же в следствии пересечений сторон АD и СВ образуется равнобедренный треугольник ОАС, у которого углы прилегающие к стороне АС равны.
Далее ... если стороны АD и СВ равны, то и соответственно ОD и ОВ будут равными.
А при равенстве по две стороны у двух треугольников с равенством углов между ними, соответственно будут иметь равенство и третьих сторон. А ЭТО приведет согласно первому и третьему признакам равенства треугольников и к РАВЕНСТВУ ПЛОЩАДЕЙ соответствующих треугольников.
PS!!! ПС!!! ХК!!!
К тому же есть и иные частные случаи применимые к тем трем признакам равенств треугольников:
Далее ...
второе ... при всём ЭТОМ не следует забывать о наличии и другого способа сравнения площадей для исполнения поставленных задач а открытой для этого темы ... а именно, можно решить сравнения исходя из имеющейся "теоремы о площади треугольника через синус угла меж двух сопряжённых сторон": Ну и?
Приобретая эту теорему к нашему условию задач
мы имеем:
общую сторону АС;есть две равные прилегающие углы к соответствующей стороне АС;есть равные по величине стороны, то бишь AD = BCа стороны АВ и СD равны по пропорциональному определению.Далее ... исходя из математической логики, а также знаний из области геометрии:
на основе двух сопряженных равных углов и величину АС спокойно можно вычислить величины АО и СО, которые исходя из принципа равнобедренности окажутся РАВНЫ по ВЕЛИЧИНЕ;величины углов АОС и ВОD равны с показателями разницы между 180 градусов (сумма углов треугольника) и сумме углов ОАС и ОСА;Теперь нетрудно определить и значения углов АОВ и СОD (соответственно по подобию выше сказанному);и теперь нам известными стали и стороны АО и ОВ (соответственно СО и ОD), а также величины углов АОВ и СОD;Теперь, определяя величины площадей треугольников АОВ и СОD (через формулы площади треугольника, на основе имеющегося "теоремы о площади треугольника") мы приходим к тому, что оказывается наши вновь образованные треугольники АОВ и СОD абсолютно равны.
Вот и всё.

Вы, наверное, пытались нарисовать точку D снизу и в результате получался своеобразный ромб. А стоит нарисовать что-то подобное.
 Правда, я тут не соблюдала размер сторон, которые равны. Но в теории картинка такая. И задачу решить попробую.Так, входе моего решения я меняю рисунок.
Итак, ВC равно AD. Угол ОАС = ОСА. То есть, мы получаем, что треугольник AOC - равнобедренный. Ведь у равнобедренного треугольника углу при основании равны. То есть, AO равен CO. Но по условию мы знаем, что BC равно AD. Получаем, что BO равно OD. В результате - BO=OC=AO=OD.

Из равенства ОАС = ОСА следует, что треугольник ОАС - равнобедренный, значит, ОА = ОС. Из условия известно, что AD = BC. Но если теперь из двух этих равных отрезков отнять тоже равные части (ОА и ОС), то останутся опять же равные отрезки - ВО и DO. Стало быть, в треугольниках АОВ и СОD две стороны попарно равны друг другу. Ну а углы при вершине О у них равны как вертикальные. Значит, выполняется второй признак равенства треугольников.

Начертите равнобедренный треугольник АВС (АС - основание). Представьте себе такие же равнобедренные треугольники АDС и АОС, начерченные на основании АС. Если их начертить в одной плоскости, и в одном направлении от АС, то точки В, D и О - совпадут.
Проведите высоту к основанию АС (т.е. В(или D, или О)К).
Проведите Поставьте ножку циркуля в точки А и С и радиусом, равным боковой стороне, проведите дуги.
Теперь будем разводить точки В и D по дугам, в разные стороны. При этом, точка их пересечения О будет сдвигаться вниз. Чтобы треугольник АОС оставался равнобедренным, точка О должна оставаться на проведенной ранее высоте. А это возможно, только когда точки В и D расположены симметрично относительно этой высоты.

По условию дано: BC = AD .< ОАС = <ОСА.Треугольники ABO и CDO равны по второму признаку равенства треугольников:
По двум сторонам и углу между ними.Доказательство: Так как в треугольнике ОСА углы при основании АС равны:угол ОАС = углу ОСА, то этот треугольник равнобедренный, и ОС = ОА.
а Так как ВС = АД, то ОВ =(ВС - ОС) = ОД = (АД - АО), то есть ОВ=ОД..А углы между равными сторонами в треугольниках ABO и CDO равны, как вертикальные углы.
<АОВ = <СОД .Вот и получается, что треугольники равны по двум сторонам:ОВ = ОД, и углу между ними <АОВ = <СОД .
Равенство треугольников доказано.
И это справедливо для любого расположения чертежа по условию.

Примерно так я поняла как будет выглядеть рисунок.Далее доказываете (скорее всего по теореме о стороне и двум прилежащим к ней углам) равенство треугольников.Попробуйте так, к сожалению более развернутый ответ физически не могу предоставить,устала очень.Не судите строго,это предварительный рисунок.Может глядя на наши ответы вы более верно сами всё пострите.Я очень давно не решала задачки

АСВ=АСД
АС-ОБЩАЯ,ВС=АД, уг.С=уг.А
ЗНАЧИТ уг.А=уг.С,  уг.В=уг.Д, АВ=СД
ДОС и АОВ. АВ=СД,
уг.В=уг.Д, ВАО=ДСО