Основание треугольника равно 36√2. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

В △ ABC проведём прямую DE ∥ AC
Треугольники ABC и DBE подобны потому что имеют одинаковые углы:
∠BAC=∠BDE и ∠BCA=∠BED как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущими, а  ∠ABC (∠DBE) является общим.
Проведём высоту BF из точки B  к основанию AC.
Треугольники ABF и DBH тоже подобны, с тем же коэффициентом подобия.
Обозначим коэффициент подобия буквой x.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
DE/AC=BH/BF=x
DE=AC∙x
BH=BF∙x
S△ABC=AC∙BF/2
S△DBE=DE∙BH/2=AC∙x∙B�F∙x/2=AC∙BF∙x²/2
Учитывая,что S△ABC=2∙S△DBE получим
AC∙BF/2=2∙AC∙BF∙x²/2�=AC∙BF∙x²
Сокращаем на AC∙BF
½=x²
x=√½=1/√2
Длина основания треугольника AC равна 36√2
Длина отрезка прямой параллельной основанию, заключённого между сторонами треугольника (DE) равна:
DE=AC∙x=36√2∙x=36√2∙�(1/√2)=36
Ответ: длина отрезка DE равна 36