7²⁰²⁰+9²⁰²¹

Зачем изобретать велосипед. Есть проверенные способы и их можно применять не только к этому примеру.
Короче для оснований, которые представлены простыми числами есть таблица.
И она представлена на рисунке.
Так что в таблице представлены все закономерности изменения  последней цифры для чисел
и основаниями степени , которые являются простыми числами.
Из таблицы видно, что для 9  нечетная степень имеет в числе на конце 9.
Ну а для семерки  2020 кратное 4 и значит   в числах с основанием семь на конце 1.
Ну и ответ 1+9 = 10. Тат в числе на конце 0.
Преимущество данного метода с использованием таблицы это то, что подобные задачи для других оснований и степеней можно решать как по трафарету.
                                                                              

Выпишем степени 7( семи) 7,.9,..3,.. 1,.. 7-дальше последние цифры будут повторяться.
Видно, что 7 в 4-той,8-мой,12-той..и тд в 4п-энной степени оканчивается на 1.
2020 кратно 4.То есть 7^2020 оканчивается на 1.
Теперь 9^2021
Последние цифры степеней 9-ки:
9,.1,..9,1 и тд.
Видно, что если степень нечетная, то число оканчивается на 9.
Наше число 9^2021 оканчивается на 9.
Последние цифры наших чисел 1 и 9 в сумме дадут 10,то есть сумма:
7^2020+9^2021 оканчивается на 0.