Дано: a >= 0, b >= 0, c >= 0, d >= 0
Доказать, что:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 >= 4√(abcd)

Среднее арифметическое больше равно среднего геометрического
Это тоже надо доказывать, или за тривиальное утверждение примем?
(a^2 + b^2 + c^2 +d^2)/4  >=  (a^2 * b^2 * c^2 *d^2)^(1/4)
                                                                              

Самый простой способ доказательства этого равенства геометрический. Надо рассмотреть два прямоугольных треугольника с катетами a b  и c d. Тогда по теореме Пифагора сумма квадратов катетов равны квадрату гипотенуз, например m и n. Далее рассматриваем еще один прямоугольный треугольник, но уже с катетами m и n. Величина стоящая под корнем и есть площадь прямоугольника со сторонами m и n. Из-за трудности набора математических формул не могу привести все выкладки. Попробуйте начертить такие треугольники и Вам будут понятны мои рассуждения.

Допустим все 4 неизвестных равны нулю, то равенство решено. а=0, б=0, с=0 и d=0. Получается:
ноль умножить на 2 плюс ноль умножить на 2 плюс ноль умножить на 2 и плюс ноль умножить на 2 = четыре умножить на квадратный корень из ноля. Итог 0=0. Равенство решено.