Как решить задачу (ОГЭ математика)
Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов А и В этой трапеции пересекаются в точке К, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.

               Давненько я брался за задачи по геометрии вообще и за задания этого очень уважаемого мною автора в частности. Дело в том, что по-серьёзному сломалась машина, новая работа очень тяжёлая и не каждый вечер остаются силы на активное участие в создании и решении головоломок. Но сегодня выходной и можно решить хотя бы одну. А первым делом мне потребуется подходящая картинка, которую в очередной раз придётся изготавливать самостоятельно. Получилось нечто такое:
При этом обращу ваше внимание на то, что умышленно продлил биссектрисы тупых углов ∠A (=2β) и ∠D (=2λ) до пересечения с прямой BC, где установим обозначения L и F. Очевидно, что мы таким образом получим новую большую трапецию ALFD. Она нам пригодится, но прежде хотелось бы заметить следующее:
прямые BC (LF) и AD параллельныпрямая AL пересекает эти параллельные прямыеПоскольку секущая прямая AF при пересечении двух параллельных прямых образует накрестлежащие углы, можно утверждать:
∠ALB = βАналогичная картина имеет место с правой стороны:
прямая DF пересекает параллельные прямые LF и AD ⇒∠DFC = λА теперь смотрим на треугольники ∆ABL и ∆CDF. Каждый из них имеет по паре равных углов:
∠BAL = ∠BLA = β и ∠CDF = ∠CFD = λ ⇒AB = BL и CD = CFНо ведь BK и CE, как сказано в условии, являются биссектрисами. А в равнобедренных треугольниках, как известно, они по совместительству занимают должности медиан:
AK = KL и DE = EF ⇒KE является средней линией большой трапеции ALFDНо мы же с вами знаем, что длина средней линии трапеции равна половине от суммы длин её оснований:
KE = (AD + LF) / 2KE = (AD + (LB + BC + CF)) / 2 в то время как AB = BL и CD = CF ⇒KE = (AD + (AB + BC + CD)) / 2 ⇒AD + AB + BC + CD = KE * 2 = 28 * 2 = 56Что у нас в левой части равенства? Разве не периметр исходной трапеции? Если так, то очевиден верный ответ на поставленный вопрос:
периметр трапеции ABCD равен 56.