По возможности аналитически, а не через эксель

Сразу оговорка, полностью не развязал. Данное уравнение эквивалентно полиному 15-той степени (по прикидке). При разложении тангенса двойного и тройного аргумента, а так же используя формулу сложения аргументов тангенса у меня получилось что максимальная степень для tg(3x) -> (tg(x))^3; tg(5x)->(tg(x))^5; tg(7x)->(tg(x))^7.
Поскольку эти тангенсы перемножаются то максимальная степень всего уравнения будет (tg(x))^(3+5+7) = (tg(x))^15.
Отсюда видно, что уравнение имеет 15 корней, а поскольку тангенс - циклицеская ф-ция с циклом n*k, то точнее сказать  15 корней на промежутке (n-1)*k и n*k.
Уравнение пока не сложилось (где-то напутал с коэффициентами).
Что касается отрезка (-pi/14;pi/14) - то можно сказать, что на этом отрезке ф-ция f(x)=tg3x*tg5x*tg7x-tgx - непрерывна, причем с одной стороны значения отрицательны, с другой положительны. Отсюда вывод, что как минимум один корень на этом отрезке есть. Очевидный корень - 0.
Исследуя функцию на знак в округе корня 0 (границы ф-ции при x-> -0 и x-> +0) заметил, что знак ф-ции меняется. Получается, что знак ф-ции на отрезке (-pi/14;pi/14) меняется (-,+,-,+). Отсюда делаю вывод, что на этом отрезке корней минимум 3.
А вот какие корни - это надо развязать уравнение 15-той степени и посмотреть, какие из них лежат на заданном отрезке.
Написав программку которая ищет приближённое значение корня заданной ф-ции на отрезке (-pi/14;0) методом деления пополам отрезка и нахождения знака ф-ции на каждом конце отрезка, а потом, соответственно, поделив отрезок на котором наблюдается смена знака ещё на 2 и так до некоторой точности получил значение -0,087 радиан. Соответственно и 0,087 радиан. Или, если удобней, приблизительно -pi/36 и pi/36; В градусной мере приблизительно - 5 градусов (4,9847 градуса точнее).
Как-то так.
                                                                              

Для того, чтобы снять все вопросы про количество корней >1

Вначале все тангенсы превращаем в синусы-косинусы. Синус и косинус 3х расписываем по формуле тройного угла
sin x / cos x = [sin x (3 - 4 sin^2 x) / (cos x (4 cos^2 x - 3))] *(sin 5x sin 7x)/(cos 5x cos 7x)
сокращаем на sin x / cos x, при этом не забываем про корень sin x = 0  => x = pi m
произведения функций 5х и 7х преобразовываем в соответствующие суммы
1 =  [ (3 - 4 sin^2 x) / (4 cos^2 x - 3)] *[(cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)]
квадраты синуса и косинуса икс выражаем через cos 2x
1 = [(1 + 2 cos 2x)/(2 cos 2x - 1) ]*[(cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)]
(cos 2x - 1/2) / (cos 2x + 1/2) = (cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)
приводим к общему знаменателю
cos^2 2x - 1/2 cos 2x - 1/2 cos 12 x + cos 2x cos 12 x = cos^2 2x - cos 2x cos 12 x + 1/2 cos 2x - 1/2 cos 12 x
собираем подобные члены
2 cos 2x cos 12 x = cos 2x
обнаруживаем корни
cos 2x = 0  =>  2x = +- pi/2 + 2 pi m  => x = pi/4 + pi n
cos 12 x = 1/2  =>  12 x = +-pi/3  + 2 pi m   => x = +- pi/36 + pi k / 12

То, то х=0 есть единственное решение, доказывается аналитически без Вольфрама и Экселя. Просто ВНИМАТЕЛЬНО прочитайте задачку: найти корни надо не на промежутке от 0 до 90, а на промежутке от -пи/14 до +пи/14. Где и левая, и правая часть уравнения есть монотонные функции. Что интересно, и производные от обеих частей тоже функции монотонные (надеюсь, взять производные от обеих частей струда не составит). А стало быть, правая часть на рассматриваемом промежутке растёт по абсолютной величине быстрее, чем левая. То есть расхождение между ними по мере удаления от точки х=0 будет только нарастать.
Ну а что там делается вне указанного промежутка - по фигу.

На первый взгляд, не решая, ответ единственный и очевидный: x = 0
И Вольфрам Альфа это подтверждает, ближайшие к 0 корни: +-pi/4 и +-3pi/4, не попадают в промежуток (-pi/14; pi/14).