3^x+4^x=5^x
Тема - показательная функция.
Логарифмы еще не изучались.
Ответ очевиден, но как к нему прийти этим путем?

Это уравнение имеет единственное решение, что не штука доказать.
Разделим обе части на правую (поскольку она нигде не обращается в 0, это вполне допустимое действие). Получится (3/5)^x+(4/5)^x = 1. Очевидно, что х=2 есть корень данного уравнения. Смотрим на производную левой части. Она равна ln0.6*0.6^x + ln0.8*0.8^x. Оба слагаемых отрицательны. Это значит, что левая часть есть исходной функции есть функция монотонная и всюду убывающая. А значит, по какой-то из теорем Вейерштрассе, что если такая функция принимает в какой-то точке определённое значение, то соответствующая точка единственна. То есть есть в точке х=2 функция равна 1, то нигде больше такое значение не получается.
Кстати, знание логарифмов тут не нужно, кроме разве что того факта, что натуральный логарифм числа, меньшего 1, отрицателен. А вот производные знать нужно.
                                                                              

Попробую предложить графическое решение. Запишем уравнение в следующем виде S=5^x-3^x-4^x просчитаем значение S для целочисленных х от -5 до +5
х  |      S
-5 |    -0,004771789
-4 |    -0,014651929
-3 |    -0,044662037
-2 |    -0,133611111
-1 |    -0,383333333
0 | -1
1 | -2
2 | 0
3 | 34
4 | 288
5 | 1858
(можно просчитать и для промежуточных нецелочисленных значений, но это сути не изменит) строим график  (придется строить с применении интерполяции для нецелочисленных значений) и получаем, что левая часть графика аналогична гиперболе - бесконечно стремясь к 0, а правая как парабола резко уходит вверх стремясь к бесконечности. И пересечение с осью х получается только в одном месте когда х=2