�Имеется несколько алмазов общим весом в 1000 карат. Известно, что их можно разложить на 5 кучек равного веса, а можно и на 8 кучек равного веса. Каким наибольшим весом (в каратах) может обладать наименьший алмаз?

Ну, не знаю, такое впечатление, что каких-то данных в задаче не хватает :-(
Допустим, алмазы общим весом 1000 карат разложили на пять кучек равного веса, тогда вес каждой кучки алмазов составит
1000 / 5 = 200 карат ( но сколько алмазов в каждой кучке и тем более каким весом каждый из них, ну, неоткуда узнать )
Теперь предположим, что те же алмазы общим весом в 1000 карат разложили уже в 8 кучек равного веса, тогда вес алмазов в каждой кучке составит
1000 / 8 = 125 карат ( и опять же, сколько алмазов в каждой кучке и какие веса у этих алмазов узнать неоткуда )
Можно попробовать найти наибольшие и наименьшие общие делители, для количества карат в каждой из возможных кучек:
200 = 1 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
125 = 1 × 5 × 5 × 5
В данном случае, если масса всех алмазов одинакова ( хотя такого в условии задачи не говорится ), то наименьшее общее кратное равно 1 и в этих кучках, соответственно, по 200 или по 125 алмазов.
Если масса каждого алмаза 5 карат, то в первом случае в каждой такой кучке алмазов 200 / 5 = 40 штук, а во втором случае 125 / 5 = 25 штук.
Ну, и, наконец, наибольшее общее кратное  в данном случае равно 25 картам и тогда в первом случае в каждой кучке 8 алмазов, а во втором случае их 5 штук в каждой кучке.
В общем, при условии, что массы всех алмазов одинаковы, то наименьший алмаз может обладать наибольшим из возможных весом в 5 карат.