На сколько процентов уменьшиться площадь квадрата, если его периметр уменьшится в два раза?
А) 50%
В) не изменится
С) 30%
D) 75%
Е) 80�%

Эта проблема часто возникает при размещении картинки на сайте. Например, рекомендуемый объём графического изображения не более мегабайта, но лучше меньше. 36 килобайт очень хорошо. Это значит, что её сторона равна 600 точек. (приемлемый параметр). Периметр 600*4 = 2400 точек. А передо мной картинка в два раза больше 2400*2 = 4800 точек. То есть площадь её квадрата равна: 4800/4 = 1200 точек сторона (в 2 раза больше приемлемого), а площадь равна 1200^2 = 1,44 мегапикселя - превышает предел. Объём на диске 144 килобайта. Многовато, хотя и допустимо. 
Что я делаю? Уменьшаю длину и ширину на 50%. Смотрите первый скрин. Получается допустимая картинка в 36 килобайт.
Я её вставила в первую для сравнения. Теперь можно публиковать. Вот обе: 
Со вставкой:
Опубликованная:
Но вопрос был:
А вот и ответ: 1200^2/((1200/2)^2) = 144000/360000 = сокращаю 4 нуля = 144/36 = 4 раза. То есть картинка уменьшилась в 4 раза, если судить по площади и это видно на моём скрине со вставкой. А четверть от 100% это 25%. А сколько остаётся? Вычисляю:
100 - 25 = 75%.
Мой ответ: Под литерой "D)" 75%. 
                                                                              

Периметр - это сумма всех сторон. Если периметр уменьшился вдвое. То это аналогично, что каждая сторона уменьшилась вдвое.
Но для квадрата можно строго показать, что возможен только такой вариант.
Пусть сторона квадрата = а
Тогда периметр P = a + a + a + a = 4•a
Новый периметр стал в 2 раза меньше P/2 = 2•a
Тогда сторона нового квадрата в 4 раза меньше периметра и = 2a/4 = a/2
Пусть площадь начального квадрата - S₁ = a•a = a²
А площадь уменьшенного квадрата получится S₂ = (a/2)•(a/2) = a²/4
Дальше можно считать разными способами:
Выберем такой:
S₁ - 100%
S₂ - x%
Получаем х = S₂•100%/S₁ = a²•100%/(4•a²) = 25%
И осталось найти насколько уменьшилась: было 100%, стало 25%, уменьшилось на 100% - 25% = 75%
Ответ: D) 75%

Пусть сторона квадрата - а.
Его периметр Р=4а.
Его площадь S=a^2.
Найдем Р^2=16а^2
Отношение:Р^2/S=16,о�тсюда:
S=P^2/16--формула зависимости площади квадрата от его периметра.  Теперь по данной задаче:
S1=Р1^2/16
Р2=0,5*Р1
S2=P2^2/16=0,25*(P1^�2/16)=
=0,25*S1
То есть площадь уменьшится в 4 раза.
Теперь найдем на сколько процентов уменьшится площадь:
S1-S2=0,75*S1=75 % от S1

Допустим, что периметр квадрата равен 16 единиц, тогда его сторона равна 4 единицы, а площадь равна 16 квадратных единиц.
Если периметр квадрата стал теперь 8 единиц, то его сторона стала 2 единицы, а площадь стала 4 квадратных единицы.
Таким образом площадь квадрата уменьшилась на 12 квадратных единиц, что составляет 75% от начальной площади.
Ответ: D) 75%