Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании трапеции равен 60°, большее основание равно 18. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

У равнобедренных трапеций на самом деле довольно много любопытных свойств, но в данном случае мне наиболее симпатична эта парочка:
На приведённой картинке буквы расставлены иначе, но суть не меняется. В нашем случае очевидно следующее:
∠A = ∠B∠D = ∠C∠D = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°∠C = 120°Думаю, что ни у кого из вас не вызывают сомнений предыдущие выводы. А теперь я предлагаю перевернуть всё с ног на голову. Иначе говоря, давайте зеркально отразим нашу трапецию относительно оси, проходящей через основание AB. Должно получиться примерно так:
Очевидно, что угол ∠DAD1 равен ∠CBC1 при этом сумме двух углов ∠A или двух ∠B.
∠DAD1 = 2 * ∠A = 2 * 60 = 120°∠CBC1 = 120°Ничего особенного не заметили? А ведь мы имеем шестиугольник, у которого шесть углов равны 120°. Мало того, как было сказано в задании, боковые стороны исходной трапеции равны длине короткого основания. Если так, то в полученном шестиугольнике, равны не только все углы, но и все стороны. Следовательно, можно сделать однозначный вывод - он правильный!
А в правильном шестиугольнике, как вы знаете, радиус описанной окружности равен длине его стороны и при том половине большой диагонали. На сколько я понимаю, в нашем случае длина нижнего основания трапеции AB и соответствует длине большой диагонали шестиугольника. И тогда радиус описанной окружности будет равен половине:
R = AB / 2 = 18 / 2 = 9см.                                                                              

Величина угла вписанного в окружность равна половине угловой величины дуги на которую он опирается.
Значит, угловая величина дуги DCB равна удвоенной величине угла при основании трапеции, то есть 2*60° = 120°. Аналогично, угловая величина дуги ADC также равна 120°.
Угловые величины дуг, опирающихся на равные хорды AD, DC и CB, должны быть равны. Следовательно, угловая величина каждой из этих дуг равна 60°. И в сумме эти три дуги дают 180°, величину дуги, опирающейся на основание трапеции AB, равное по условию 18.
Так как 180° - это половина от полной угловой величины окружности, то АВ - диаметр данной окружности и ее радиус:
18/2 = 9.
Ответ: 9.