У Вани есть игрушечные солдатики. Сначала он построил их в шеренги по 9 солдатиков, у него остались 5 лишних. Тогда Ваня построил солдатиков в шеренги по 7, и лишних не осталось. Сколько солдатиков у Вани, если их больше 40, но меньше 100?

Если бы у меня было 99 солдатиков (меньше ста по условию задачи), то я бы просто взял и построил бы их в шеренги по девять бойцов. И таких шеренг получилось бы одиннадцать. Но в последний раз мы с соседскими пацанами рыли "траншеи" в далёких семидесятых. Да и не было у нас по столько игрушечных солдатиков - десятка по два, как максимум. Поэтому придётся оперировать виртуальными стрелками и гранатомётчиками. И для этого составим табличку в моём любимом Excel-е:
Если сказать точнее, то мы построим две таблички. В первой числа от 1 до 99 расположим в девяти строчках. А во второй в семи. Все недопустимые значения (от 1 до 40 и больше 100) закрасим каким-нибудь цветом. После этого можно точно сказать, что шеренг не менее пяти.
В первую очередь нас должна заинтересовать вторая таблица. Ведь именно в её нижней строке в одной из ячеек располагается верный ответ. Там находятся числа, которые соответствуют числу солдатиков при полных шеренгах, если в них по семь бойцов. Ведь только при семи солдатиках в шеренге не должно остаться лишних. Ни одного.
Но мы с вами знаем, что при построении шеренг по девять солдатиков, в крайней непременно окажется пять лишних. Стало быть, соответствующее число должно располагаться в пятой строчке первой таблицы. И при этом оно должно совпадать с числом, которое разместилось в нижней строке второй таблицы.
Чисел, среди которых следует искать совпадения, всего-то 7 в первой табличке и 9 во второй:
1: 41, 50, 59, 68, 77, 86 и 95;2: 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 и 98.На мой взгляд всё очевидно - совпадает только одно единственное число 77, при котором мы имеем построение солдатиков в 8 шеренг по 9 бойцов и 5 будут лишними. А при расстановке по 7 шеренг окажется ровно 11 без остатка. У Вани было 77 солдатиков.
                                                                              

Принимаю за "х" всех солдатиков, за "ш" шеренгу по 9. За "7" шеренгу по 7. Составлю уравнения:
9ш + 5 = х.
7с = х.
Придётся подбирать:
Делимые на 7 без остатка от 40 до 100:
42, 49, 54, 63, 70, 77, 84, 91, 98.
Делимые на 9 с остатком 5 от 40 до 100:
45 + 5 = 50. 54 + 5 = 59. С увеличением десятков на единицу уменьшается разряд единиц на единицу, переписываю:
50, 59, 68, 77, 86, 95.
Подходит 77.
Проверка:
77/7 = 11 делится без остатка.
77/9 = 8 и остаток 5.
Проверка прошла успешно!
Мой ответ: 77 солдатиков у Вани, если их больше 40, но меньше 100.

Я нашёл это число. Для решения этой задачи нам потребуется знать таблицу умножения. Но, тут же есть условие. Солдатиков больше 40, и меньше 100. Тут брать абсолютно любое число нельзя. Воспользуемся таблицей умножения. Число 45  делится нацело на 9, значит к этому числу надо добавить 5, получится 50. Но 50 на 7 нацело не делится... Берём следующее число. Число 63. Число 63 делится нацело на 9, добавляем 5, получается 68. Число 68 не делится на число 7 нацело. Берём число 72. Число 72 делится нацело на 9, добавляем 5, получаем 77. Число 77 делится нацело на число 7, поздравляю, вот и наш ответ.
Ответ: 77 солдатиков было.